Τι είναι η τοπολογία;

Η τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη επιφανειών ή αφηρημένων χώρων, όπου οι μετρήσιμες ποσότητες δεν είναι σημαντικές.Λόγω αυτής της μοναδικής προσέγγισης στα μαθηματικά, η τοπολογία αναφέρεται μερικές φορές ως γεωμετρία φύλλων από καουτσούκ, επειδή τα υπό εξέταση σχήματα φαντάζονται ότι υπάρχουν σε άπειρα τεντωμένα φύλλα από καουτσούκ.Στην τυπική γεωμετρία, τα θεμελιώδη σχήματα όπως ο κύκλος, το τετράγωνο και το ορθογώνιο είναι η βάση για όλους τους υπολογισμούς, αλλά, στην τοπολογία, η βάση είναι μια συνέχεια και η θέση των σημείων σε σχέση με το άλλο.Τα σημεία που μαζί θα αποτελούσαν ένα γεωμετρικό σχήμα, όπως ένα τρίγωνο.Αυτή η συλλογή σημείων θεωρείται ως ένας χώρος που παραμένει αμετάβλητος.Ωστόσο, ανεξάρτητα από το πώς είναι στριμμένο ή τεντωμένο, καθώς τα σημεία σε ένα φύλλο από καουτσούκ, θα παραμείνει αμετάβλητο ανεξάρτητα από την μορφή που ήταν.Αυτό το είδος εννοιολογικού πλαισίου για τα μαθηματικά χρησιμοποιείται συχνά σε περιοχές όπου εμφανίζεται συχνά παραμόρφωση μεγάλης ή μικρής κλίμακας, όπως φρεάτια βαρύτητας στο διάστημα, ανάλυση σωματιδίων σε υπο-ατομικό επίπεδο και στη μελέτη βιολογικών δομών όπως ηΗ μεταβολή του σχήματος των πρωτεϊνών.

Η γεωμετρία της τοπολογίας δεν ασχολείται με το μέγεθος των χώρων, οπότε η επιφάνεια ενός κύβου έχει την ίδια τοπολογία με αυτή μιας σφαίρας, καθώς ένα άτομο μπορεί να φανταστεί ότι είναι στριμμένα για να μετατοπιστούν από ένα σχήμα στοάλλα.Τέτοια σχήματα που μοιράζονται ταυτόσημα χαρακτηριστικά αναφέρονται ως homeomorphic.Ένα παράδειγμα δύο τοπολογικών σχημάτων που δεν είναι ομοιόμορφα ή δεν μπορούν να τροποποιηθούν για να μοιάζουν μεταξύ τους, είναι μια σφαίρα και ένας τόρνος ή σχήμα ντόνατ. Η ανακάλυψη των βασικών χωρικών ιδιοτήτων των καθορισμένων χώρων είναι ένας πρωταρχικός στόχος στην τοπολογία.Ένας τοπολογικός χάρτης βασικού επιπέδου αναφέρεται ως ένα σύνολο ευκλείδειων χώρων.Οι χώροι κατηγοριοποιούνται από τον αριθμό των διαστάσεων τους, όπου μια γραμμή είναι ένας χώρος σε μια διάσταση και ένα αεροπλάνο ένα χώρο σε δύο.Ο χώρος που βιώνεται από τα ανθρώπινα όντα αναφέρεται ως τρισδιάστατος ευκλείδειος χώρος.Τα πιο περίπλοκα σύνολα χώρων ονομάζονται πολλαπλές, οι οποίες φαίνονται διαφορετικές σε τοπικό επίπεδο από ό, τι σε μεγάλη κλίμακα.Οι χώροι συνδέονται με τις αλγεβρικές invariants για να τους ταξινομήσουν.Αυτή η διαδικασία της θεωρίας ομοτοπίας, ή η σχέση μεταξύ πανομοιότυπων τοπολογικών χώρων, ξεκίνησε από τον Henri Poincar Eacute, ένας Γάλλος μαθηματικός που ζούσε από το 1854 έως το 1912. Οι μαθηματικοί έχουν αποδείξει το έργο του Poincar Eacute σε όλες τις διαστάσεις, αλλά τρεις, όπου τα πλήρη σχέδια ταξινόμησης για τις τοπολογίες παραμένουν ασαφείς.