Hva er en koset?
En koset er en spesifikk type delmengde av en matematisk gruppe.For eksempel kan man vurdere settet med alle integrerte multipler på 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, som kan betegnes som 7 z .Å legge til 3 til hvert nummer genererer settet {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, som matematikere beskriver som 7 Z + 3. Dette sistnevnte sett kalles koseten på 7 Z Z generert av 3.
Det er to viktige egenskaper på 7 Z .Hvis et tall er et multiplum på 7, er det også additive omvendt.Additiv inverse av 7 er -7, additiv inverse av 14 er -14, og så videre.Å legge til et multiplum av 7 til et annet multiplum av 7 gir et multiplum av 7. Matematikere beskriver dette ved å si at multiplene på 7 er "lukket" under drift av tillegg.
Disse to egenskapene er grunnen til at 7 Z erkalt en undergruppe av heltalene under tillegg.Bare undergrupper har koseter.Settet med alle kubiske tall, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, har ikke koseter på samme måte som 7 Z fordi det ikke er lukketUnder tillegg: 1 + 8 ' 9, og 9 er ikke et kubikknummer.Tilsvarende har ikke settet med alle positive jevntall, {2, 4, 6, ...}, ikke koseter fordi det ikke inneholder inverser.
}.Når det gjelder {2, 4, 6, ...}, er 6 i koseten generert av 4 og er i koseten generert av 2, men de to kosetene er ikke identiske.Disse to kriteriene er tilstrekkelig for å sikre at hvert element er i nøyaktig en koset. koseter eksisterer i enhver gruppe, og noen grupper er langt mer kompliserte enn heltallene.En nyttig gruppe som man kan vurdere er settet med alle måtene å flytte et firkant uten å endre regionen den dekker.Hvis en firkant roteres 90 grader, er det ingen åpenbar endring i formen.Tilsvarende kan den vendes vertikalt, horisontalt eller over enten diagonal uten å endre regionen kvadratet dekker.Matematikere kaller denne gruppen D 4 . D 4 har åtte elementer.To elementer anses som identiske hvis de etterlater alle hjørnene på samme sted, så å rotere kvadratet med klokken fire ganger regnes som det samme som å gjøre ingenting.Med dette i bakhodet kan de åtte elementene betegnes e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , og
dd .“ e ” refererer til å gjøre ingenting, og “
r2 ” betegner å gjøre to rotasjoner.Hver av de fire siste elementene refererer til å snu torget: vertikalt, horisontalt eller langs det oppadgående eller nedover-skrående diagonalene. Heltallene er en abelisk gruppe, noe som betyr at dens operasjon tilfredsstiller kommutativ lov: 3 + 2 ' 2 + 3. D 4 er ikke Abelian.Å rotere en firkant og deretter vende den horisontalt beveger ikke hjørnene på samme måte som å snu den og deretter rotere den. Når du jobber i ikke-kommutative grupper, bruker matematikere vanligvis en * for å beskrive operasjonen.Et lite arbeid viser at å rotere torget og deretter snu det horisontalt,
r * h, er det samme som å snu det over den nedadgående diagonalen.Dermed r * h ' d d .Å vende firkanten og deretter rotere det tilsvarer å snu det over sin oppadgående diagonal, så r * h ' d u . Bestill saker i D 4 , så man må være mer presis når du beskriver koseter.Når du jobber i heltallene, er uttrykket “kosetten til 7 z generert av 3” entydig fordi det ikke spiller noen rolle om 3 er tilsatt til venstre eller høyre for hvert multiplum 7. For en undergruppe på D 4 Imidlertid vil forskjellige ordrer lage forskjellige koseter.Basert på beregningene beskrevet tidligere, r * h , venstre koset av H generert av r - utøver { r, d d } men h * r er lik ( r, d u }. Kravet om at ingen elementer er i to forskjellige koseter ikke gjelder ikkenår du sammenligner høyre koseter til venstre koseter.
De høyre kosetene til H stemmer ikke overenstorget, r ' { e, r, r 2 , r 3 }. en liten beregning viser at venstre kosetUndergruppe. Normale undergrupper er ekstremt viktige i abstrakt algebra fordi de alltid koder for ekstra informasjon. For eksempel tilsvarer de to mulige kosetene med r de to mulige situasjonene "torget har blitt snudd" og "torget har ikke blitt snudd.”