Co to jest coset?
COSET jest określonym rodzajem podzbioru grupy matematycznej.Na przykład można rozważyć zestaw wszystkich integralnych wielokrotności 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, które można oznaczyć jako 7 z .Dodanie 3 do każdej liczby generuje zestaw {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, który matematycy opisują jako 7 z + 3. Ten ostatni zestaw nazywa się coset 7 z Wygenerowane przez 3.
Istnieją dwie ważne właściwości 7 z .Jeśli liczba to wielokrotność 7, podobnie jest jego adwentatem.Dodatkową odwrotność 7 wynosi -7, odwrotność addytywna 14 to -14 i tak dalej.Ponadto, dodanie wielokrotności 7 do innej wielokrotności 7 daje wielokrotność 7. Matematycy opisują to, mówiąc, że wielokrotności 7 są „zamknięte” w ramach eksploatacji dodawania.
Te dwie cechy to dlatego, że 7 z jestNazywany podgrupą liczb całkowitych pod dodatkiem.Tylko podgrupy mają cosets.Zestaw wszystkich liczb sześciennych, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, nie ma cosetów w taki sam sposób jak 7 z , ponieważ nie jest zamkniętypod dodatkiem: 1 + 8 ' 9 i 9 nie jest liczbą sześcienną.Podobnie, zestaw wszystkich dodatnich liczb równych, {2, 4, 6, ...}, nie ma cosetów, ponieważ nie zawiera odwrotności.
Przyczyną tych postanowień jest to, że każda liczba powinna znajdować się dokładnie w jednym coset.W przypadku {2, 4, 6, ...}, 6 jest w coset generowanym przez 4 i jest w coset generowanym przez 2, ale te dwa coset nie są identyczne.Te dwa kryteria wystarczające do zapewnienia, że każdy element znajduje się dokładnie jeden coset.
Cosets istnieją w dowolnej grupie, a niektóre grupy są znacznie bardziej skomplikowane niż liczby całkowite.Przydatną grupą, którą można rozważyć, jest zestaw wszystkich sposobów poruszania kwadratu bez zmiany regionu, który pokrywa.Jeśli kwadrat jest obrócony o 90 stopni, nie ma widocznej zmiany kształtu.Podobnie można go odwrócić pionowo, poziomo lub w przekątnej bez zmiany obszaru pokrywy kwadratowej.Matematycy nazywają tę grupę d 4 .
d 4 ma osiem elementów.Dwa elementy są uważane za identyczne, jeśli opuszczają wszystkie narożniki w tym samym miejscu, więc czterokrotnie obracanie kwadratowego kwadratu zgodnie z ruchem wskazówek zegara jest uważane za takie samo jak nic nie robienie.Mając to na uwadze, ośmiu elementów można oznaczyć e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , i d d .„ e ” odnosi się do robienia nic, a „ r 2 ” oznacza wykonanie dwóch rotacji.Każdy z ostatnich czterech elementów odnosi się do przerzucania kwadratu: pionowo, poziomo lub wzdłuż jego przekątnej w górę lub w dół..
d4 nie jest Abelian.Obracanie kwadratu, a następnie odwracanie go w poziomie nie porusza zakrętów w taki sam sposób, jak go odwrócenie, a następnie obracanie. Podczas pracy w grupach niekomutacyjnych matematycy zwykle używają * do opisania operacji.Trochę pracy pokazuje, że obracanie kwadratu, a następnie odwracanie go poziomo,
r * h, jest tym samym, co przerzucanie go po przekątnej w dół.Zatem r * h ' d d .Odwracanie kwadratu, a następnie obracanie, jest równoważne przerzucanie go po przekątnej w górę, więc r * h ' d u . Zamówienie ma znaczenie w
d4 , więc trzeba być bardziej precyzyjnym opisującym cosets.Podczas pracy w liczbach całkowitych wyrażenie „coset 7 z wygenerowane przez 3” jest jednoznaczne, ponieważ nie ma znaczenia, czy 3 jest dodawane po lewej, czy prawej stronie każdej wielokrotności 7. Dla podgrupy d 4 Jednak różne zamówienia utworzą różne cosets.Na podstawie obliczeń opisuje wcześniej, r * h , lewy coset H generowane przez r - równe { r, d d }, ale h * r równa się ( r, d u }.Porównując prawe cosets z lewymi cosetami.
Prawe cosety h nie pasują do lewych coset. Nie wszystkie podgrupy d 4 dzielą tę właściwość. Można rozważyć podgrupę r kwadrat, r ' { e, r, r 2 , r 3 }.
Małe obliczenia pokazuje, że jego lewe cosety są takie same jak jego prawe cosety. Taka podgrupa nazywana jest normalnąPodgrupa. Normalne podgrupy są niezwykle ważne w algebrze abstrakcyjnej, ponieważ zawsze kodują dodatkowe informacje. Na przykład dwa możliwe cosets r są równoznaczne z dwiema możliwymi sytuacjami „Plac został odwrócony” i „kwadrat nie został odwrócony.”