Hvad er Kronecker -deltaet?
Kronecker -delta -funktionen, betegnet og delta; i, J , er en binær funktion, der svarer til 1, hvis I og J er lige og lig med 0 ellers.Selvom det teknisk set er en funktion af to variabler, bruges den i praksis som notational korthed, hvilket gør det muligt at skrevet komplicerede matematiske udsagn kompakt.Matematikere, fysikere og ingeniører, der arbejder i lineær algebra, tensoranalyse og digital signalbehandling, bruger Kronecker -delta -funktionen som en hensigtsmæssig til at formidle i en enkelt ligning, hvad der ellers kan tage flere tekstlinjer.
Denne funktion er hyppigst anvendt til at forenkleSkrivningen af ligninger, der involverer Sigma -notation, som i sig selv er en kortfattet metode til at henvise til komplicerede summer.For eksempel, hvis en virksomhed har 30 ansatte { e 1 , e 2 ... e 30 }, og hver enkelt medarbejder arbejder et andet antal timer { h 1 , h 2 ... H 30 } Ved en anden timepris { r 1 , R 2 ... R 30 }, de samlede penge, der betales til disse ansatte for deres arbejde, er lig med e 1*H 1 *R 1 + E 2 *H 2 *R 2 + E 3 *H 3 *R 3 + ... E 30 *H 30 *R 30 .Matematikere kan skrive dette kortfattet som sum; i e i *h i *r I .
Når de beskriver fysiske systemer, der involverer flere dimensioner, skal fysikere ofte bruge dobbelt summationer.De praktiske videnskabelige applikationer er meget komplekse, men et konkret eksempel viser, hvordan Kronecker -delta -funktionen kan forenkle udtryk i disse tilfælde.
Der er tre tøjbutikker i et indkøbscenter, der hver sælger et andet brand.I alt 20 stilarter af skjorter er tilgængelige: otte tilbudt af butik 1, syv tilbudt af butik 2 og fem tilbydes i butik 3. Tolv stilarter af bukser er tilgængelige: fem i butik 1, tre i butik 2 og fire i butik 3.Man kan købe 240 mulige tøj, fordi der er 20 muligheder for skjorten og 12 muligheder for bukserne.Hver kombination giver et andet tøj.
Det er ikke så simpelt at beregne antallet af måder at vælge et tøj, hvor skjorten og bukserne er fra forskellige butikker.Man kan vælge en skjorte fra butik 1 og bukser fra butik 2 på 8*3 måder.Der er 8*4 måder at vælge en skjorte fra butik 1 og bukser fra butik 3. Fortsat på denne måde finder man, at det samlede antal tøj ved hjælp af artikler fra forskellige butikker er 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 ' 199.
Man kunne overveje tilgængeligheden af skjorter og bukser som to sekvenser, { S 1 , S 2 , S 3 } ' {8,7, 5} og { p 1 , p 2 , p 3 } ' {5, 3, 4}.Derefter tillader Kronecker-delta-funktionen denne sum at blive skrevet som enkelt sum; I sum; J S I * P J * (1- Delta; I,J ).(1- Delta; i, J ) udtrykket eliminerer de tøj, der omfatter en skjorte og bukser,' 1 og (1- delta; i, j ) ' 0. Multiplikation af udtrykket med 0 fjerner det fra summen. Kronecker-delta-funktionen bruges hyppigst, når man analyserer multidimensionelle rum, men det kan også være ogsåBruges ved studere af en-dimensionelle rum, som den reelle tallinje.I dette tilfælde bruges en enkeltindgangsvariant ofte: delta; ( n ) ' 1 hvis n ' 0; delta; ( n ) ' 0 ellers.For at se, hvordan Kronecker -delta -funktionen kan bruges til at forenkle komplekse matematiske udsagn om de reelle tal, kan man overveje følgende to funktioner, hvis input er forenklede fraktioner:
F (A/B) ' A If a ' b +1, f (a/b) ' -b Hvis b ' a +1, og f (a/b) ' 0 ellers.
g (a/b) ' a * delta; ( a - b -1)- b * delta; ( a - b +1)
funktionerne f og G er identiske, men definitionen for g er mere kompakt og kræver ingen engelsk, så det kan forstås af enhver matematiker i verden.
Som illustreret af disse eksempler er input fra Kronecker Delta -funktionen typisk heltalder er forbundet til en vis sekvens af værdier.Dirac -delta -distributionen er en kontinuerlig analog af Kronecker -delta -funktionen, der bruges, når man integrerer funktioner i stedet for at opsummere sekvenser.