Cos'è il Delta di Kronecker?

La funzione delta di KRONECKER, indicata e delta; I, J , è una funzione binaria che è uguale a 1 se i e j sono uguali ed uguali 0 altrimenti.Sebbene tecnicamente sia una funzione di due variabili, in pratica viene utilizzata come stenografia nozionale, consentendo di essere scritta in modo compatto dichiarazioni matematiche complicate.I matematici, i fisici e gli ingegneri che lavorano in algebra lineare, analisi del tensore e elaborazione del segnale digitale utilizzano la funzione delta di Kronecker come un espediente da trasmettere in un'unica equazione ciò che altrimenti potrebbe prendere diverse linee di testo.

Questa funzione è più frequentemente impiegata per semplificareLa scrittura di equazioni che coinvolgono la notazione di Sigma, che è essa stessa un metodo conciso per riferirsi a somme complicate.Ad esempio, se un'azienda ha 30 dipendenti { e 1 , e 2 ... e 30 } e ogni dipendente lavora un numero diverso di ore { h 1 , h 2 ... H 30 } a una tariffa oraria diversa { r 1 , r 2 ... r 30 }, il denaro totale pagato a questi dipendenti per il loro lavoro è uguale a e 1*h 1 *r 1 + e 2 *H 2 *r 2 + e 3 *H 3 *r 3 + ... e 30 *H 30 *R 30 .I matematici possono scriverlo in modo conciso come somma; i e i *h i *r i .

Quando descrivono i sistemi fisici che coinvolgono più dimensioni, i fisici spesso devono usare doppie somme.Le pratiche applicazioni scientifiche sono molto complesse, ma un esempio concreto mostra come la funzione delta di Kronecker possa semplificare le espressioni in questi casi.

Ci sono tre negozi di abbigliamento in un centro commerciale, ognuno di vendere un marchio diverso.Sono disponibili un totale di 20 stili di camicie: otto offerti dal negozio 1, sette offerti dal negozio 2 e cinque offerti al negozio 3. Sono disponibili dodici stili di pantaloni: cinque al negozio 1, tre al negozio 2 e quattro al negozio 3.Si possono acquistare 240 possibili abiti, perché ci sono 20 opzioni per la camicia e 12 opzioni per i pantaloni.Ogni combinazione produce un vestito diverso.

Non è così semplice calcolare il numero di modi per selezionare un outfit in cui la camicia e i pantaloni provengono da negozi diversi.Si può selezionare una maglietta dal negozio 1 e pantaloni dal negozio 2 in 8*3 modi.Esistono 8*4 modi per selezionare una maglietta dal negozio 1 e pantaloni dal negozio 3. Continuare in questo modo, si trova il numero totale di abiti che utilizzano articoli di diversi negozi è 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 ' 199.

Si potrebbe considerare la disponibilità di camicie e pantaloni come due sequenze, { S 1 , S 2 , S 3 } ' {8,7, 5} e { P 1 , P 2 , P 3 } ' {5, 3, 4}.Quindi la funzione delta Kronecker consente di scrivere questa somma come semplicemente somma; i sum; j s i * p j * (1- delta; i,j ).Il termine (1- delta; i, j ) elimina quegli abiti che comprendono una camicia e pantaloni acquistati nello stesso negozio perché in quel caso i ' j , quindi delta; i, j ' 1 e (1- delta; i, j ) ' 0. Moltiplicare il termine per 0 lo rimuove dalla somma.

La funzione Delta di Kronecker viene utilizzata più frequentemente quando si analizza gli spazi multidimensionali, ma può anche essereUtilizzato quando si studia spazi monodimensionali, come la linea numerica reale.In tal caso, viene spesso utilizzata una variante a singola input: delta; ( n ) ' 1 se n ' 0; delta; ( n ) ' 0 altrimenti.Per vedere come la funzione Delta di KRONECKER può essere utilizzata per semplificare le dichiarazioni matematiche complesse sui numeri reali, si potrebbero considerare le seguenti due funzioni i cui input sono frazioni semplificate:

f (a/b) ' a a ' b +1, f (a/b) ' -b se b ' a +1 e f (a/b) ' 0 altrimenti.
g (a/b) ' a * delta; ( a - b -1)- b * delta; ( a - b +1)

Le funzioni f e g sono identici, ma la definizione di g è più compatta e non richiede inglese, quindi può essere compresa da qualsiasi matematico al mondo.

Come illustrato da questi esempi, gli input della funzione delta di Kronecker in genere sono integratiche sono collegati ad una sequenza di valori.La distribuzione delta di Dirac è un analogico continuo della funzione delta di KRONECKER utilizzata quando si integrano le funzioni anziché sommando le sequenze.