Τι είναι οι επεκτατικοί λογαρίθμοι;
Πολλές εξισώσεις μπορούν να απλοποιηθούν με την επέκταση των λογαρίθμων.Ο όρος επέκτασης λογαρίθμων δεν αναφέρεται σε λογάριθμους που επεκτείνονται αλλά σε μια διαδικασία με την οποία μια μαθηματική έκφραση αντικαθίσταται για άλλη σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες.Υπάρχουν τρεις τέτοιοι κανόνες.Κάθε ένα από αυτά αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη ιδιότητα των εκθέτων επειδή η λήψη λογαρίθμου είναι το λειτουργικό αντίστροφο της εκτίμησης: log 3 (9) ' 2 επειδή χρησιμοποιείται 3 2 ' 9.
Ο πιο συνηθισμένος κανόνας για την επέκταση των λογαρίθμων χρησιμοποιείταιχωριστά προϊόντα.Ο λογάριθμος ενός προϊόντος είναι το άθροισμα των αντίστοιχων λογαρίθμων: log a ( x*y ) ' log a ( x ) + log a (y).Αυτή η εξίσωση προέρχεται από τον τύπο a x * y ' a x+y .Μπορεί να επεκταθεί σε πολλούς παράγοντες: log a ( x*y*z*w ) ' log a ( x ) + log a ( y ) +log a ( z ) + log a ( w )
Η αύξηση ενός αριθμού σε αρνητική ισχύς είναι ισοδύναμη με την αύξηση της αμοιβαίας σε μια θετική ισχύ: 5 -2 '(1/5) 2 ' 1/25.Η ισοδύναμη ιδιότητα για τους λογαρίθμους είναι ότι το log a (1/ x ) ' -log a ( x ).Όταν η ιδιότητα αυτή συνδυάζεται με τον κανόνα του προϊόντος, παρέχει έναν νόμο για τη λήψη του λογαρίθμου ενός λόγου: log a ( x / y ) ' log a ( x ) -log a ( y ).
Ο τελικός κανόνας για την επέκταση των λογαρίθμων σχετίζεται με τον λογάριθμο ενός αριθμού που προέρχεται σε μια ισχύ.Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του προϊόντος, διαπιστώνει ότι το log a
a ( x ).Παρομοίως, log a ( x 3 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) + log a (
x) ' 3*log a ( x ).Γενικά, log a ( x n ) '
n*log a ( x ), ακόμη και αν n δεν είναι πλήθος.Οι κανόνες μπορούν να συνδυαστούν για την επέκταση των εκφράσεων του πιο σύνθετου χαρακτήρα.Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να εφαρμόσει τον δεύτερο κανόνα για να καταγράψει a
( x 2 y / z ), λαμβάνοντας το log έκφρασης a ( x 2 y y) - log a (z).Στη συνέχεια, ο πρώτος κανόνας μπορεί να εφαρμοστεί στον πρώτο όρο, αποδίδοντας log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ).Τέλος, η εφαρμογή του τρίτου κανόνα οδηγεί στην έκφραση 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).Η επέκταση των λογαρίθμων επιτρέπει την γρήγορη επιλύονται πολλές εξισώσεις.Για παράδειγμα, κάποιος μπορεί να ανοίξει έναν λογαριασμό ταμιευτηρίου με $ 400 δολάρια ΗΠΑ.Εάν ο λογαριασμός πληρώνει 2 % ετήσιο ενδιαφέρον που αυξάνεται μηνιαίως, ο αριθμός των μηνών που απαιτούνται πριν ο λογαριασμός διπλασιάζεται σε αξία μπορεί να βρεθεί με την εξίσωση 400*(1 + 0.02/12) M ' 800. Διαχωρισμός με 400 αποδόσεις (1 + 0.02/12) m ' 2. Λαμβάνοντας το λογάριθμο βάσης-10 και των δύο πλευρών παράγει το αρχείο καταγραφής εξίσωσης 10 (1 + 0.02/12) m ' log 10 (2). Αυτή η εξίσωση μπορεί να απλουστευθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα ισχύος σε m *log 10 (1 + 0.02/12) ' log 10 (2).Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή για να βρείτε τους λογαρίθμους αποδόσεις m *(0,00072322) ' 0,30102.Κάποιος βρίσκει κατά την επίλυση του m ότι θα χρειαστούν 417 μήνες για να διπλασιαστεί ο λογαριασμός σε τιμή εάν δεν έχουν κατατεθεί πρόσθετα χρήματα.