Những logarit đang mở rộng là gì?
Nhiều phương trình có thể được đơn giản hóa bằng cách mở rộng logarit.Thuật ngữ mở rộng logarit không đề cập đến các logarit mở rộng mà là một quá trình mà một biểu thức toán học được thay thế cho một biểu thức khác theo các quy tắc cụ thể.Có ba quy tắc như vậy.Mỗi trong số chúng tương ứng với một thuộc tính cụ thể của số mũ vì lấy logarit là nghịch đảo chức năng của số mũ: log
3 (9) ' 2 vì 3 2 ' 9. Quy tắc phổ biến nhất để mở rộng logarit được sử dụngsản phẩm riêng biệt.Logarit của sản phẩm là tổng của các logarit tương ứng: log a
(x*y ) ' log a (x ) + log a (y).Phương trình này có nguồn gốc từ công thức a x * a y ' a x+y.Nó có thể được mở rộng thành nhiều yếu tố: log a ( x*y*z*w ) ' log a ( x ) + log a ( y ) + +log a ( z ) + log a ( w ). Tăng một số lên một công suất âm tương đương với việc tăng đối ứng của nó thành một sức mạnh tích cực: 5 -2 ' '(1/5) 2 ' 1/25.Thuộc tính tương đương cho logarit là log a (1/ x ) ' -log
a( x ).Khi thuộc tính này được kết hợp với quy tắc sản phẩm, nó cung cấp một luật để lấy logarit của một tỷ lệ: log a ( x / y ) ' log a ( x ) -log a ( y ). Quy tắc cuối cùng để mở rộng logarit liên quan đến logarit của một số được nâng lên một nguồn.Sử dụng quy tắc sản phẩm, người ta thấy rằng log a ( x 2 ) ' log a ( x ) + log
a(x ) ' 2*log a ( x ).Tương tự, log a ( x 3 ) ' ' log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x) ' 3*log a ( x ).Nói chung, log a ( x n ) ' n *log a ( x ), ngay cả khi n không phải là một số toàn bộ.Các quy tắc có thể được kết hợp để mở rộng các biểu thức nhật ký của ký tự phức tạp hơn.Ví dụ: người ta có thể áp dụng quy tắc thứ hai vào log a ( x 2 y / z ), thu được log biểu thức a ( x 2) - log a (z).Sau đó, quy tắc đầu tiên có thể được áp dụng cho thuật ngữ đầu tiên, mang lại log
a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ).Cuối cùng, áp dụng quy tắc thứ ba dẫn đến biểu thức 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).Mở rộng logarit cho phép nhiều phương trình được giải nhanh.Ví dụ: ai đó có thể mở một tài khoản tiết kiệm với 400 đô la Mỹ.Nếu tài khoản trả 2 phần trăm lãi hàng năm gộp hàng tháng, số tháng cần thiết trước khi tài khoản tăng gấp đôi giá trị có thể được tìm thấy với phương trình 400*(1 + 0,02/12) m ' 800. Chia cho 400 năng suất (1 + 0,02/12) m ' 2. Lấy logarit cơ sở-10 của cả hai bên tạo ra log phương trình 10 (1 + 0,02/12) m ' log 10 (2). Phương trình này có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng quy tắc công suất thành m *log 10 (1 + 0,02/12) ' log 10 (2).Sử dụng máy tính để tìm logarit mang lại m *(0,00072322) ' 0,30102.Người ta tìm thấy khi giải quyết cho m rằng sẽ mất 417 tháng để tài khoản tăng gấp đôi giá trị nếu không có tiền bổ sung được gửi.