Was ist eine kanonische Form?
Fast alle mathematischen Objekte können auf verschiedene Weise ausgedrückt werden.Beispielsweise entspricht der Fraktion 2/6 5/15 und -4/-12.Eine kanonische Form ist ein spezifisches Schema, mit dem Mathematiker Objekte aus einer bestimmten Klasse auf kodifizierte, einzigartige Weise beschreiben.Jedes Objekt in der Klasse hat eine einzelne kanonische Darstellung, die der Vorlage der kanonischen Form entspricht.
Für rationale Zahlen ist die kanonische Form a / b , wobei a und B keine gemeinsamen Faktoren und haben und B ist positiv.Ein solcher Bruch wird typischerweise als "in niedrigster Begriff" bezeichnet.Wenn Sie in kanonische Form gebracht werden, wird 2/6 1/3.Wenn zwei Brüche gleichwertig sind, sind ihre kanonischen Darstellungen identisch.
Kanonische Formen sind nicht immer die häufigste Art, ein mathematisches Objekt zu bezeichnen.Zweidimensionale lineare Gleichungen haben die kanonische Form ax + durch + c ' 0, wobei c entweder 1 oder 0 ist. Doch Mathematiker verwenden häufig die Steigungs-Außenschnitt-Form mdash; y ' mx + b mdash;Bei grundlegenden Berechnungen.Die Neigungs-Außenschnitt-Form ist nicht kanonisch;Es kann nicht verwendet werden, um die Zeile x ' 4.
Mathematiker finden kanonische Formen bei der Analyse abstrakter Systeme besonders nützlich, bei denen zwei Objekte deutlich unterschiedlich erscheinen, aber mathematisch gleichwertig sind.Der Satz aller geschlossenen Pfade auf einem Donut hat die gleiche mathematische Struktur wie der Satz aller geordneten Paare ( A ,
B) von ganzen Zahlen.Ein Mathematiker kann diese Verbindung leicht sehen, wenn er kanonische Formen verwendet, um beide Sätze zu beschreiben.Die beiden Sätze haben die gleiche kanonische Darstellung, daher sind sie gleichwertig.Um eine topologische Frage zu Kurven eines Donuts zu beantworten, ist es einem Mathematiker möglicherweise einfacher, eine äquivalente, algebraische Frage zu geordneten Zahlenpaaren zu beantworten.
Viele Studienbereiche verwenden Matrizen zur Beschreibung von Systemen.Eine Matrix wird durch ihre individuellen Einträge definiert, aber diese Einträge vermitteln häufig nicht den Charakter der Matrix.Kanonische Formen helfen Mathematikern, zu wissen, wann zwei Matrizen in irgendeiner Weise zusammenhängen, die sonst möglicherweise nicht offensichtlich sind.
Boolesche Algebren, die Struktur, die Logiker bei der Beschreibung von Sätzen verwenden, haben zwei kanonische Formen: disjunktive normale Form und konjunktive Normalform.Diese entsprechen algebraisch dem Berücksichtigung oder Expansion von Polynomen.Ein kurzes Beispiel zeigt diese Verbindung. Der Schulleiter einer High School könnte sagen: „Die Fußballmannschaft muss eines der ersten beiden Spiele gewinnen und unsere Rivalen, die Hornets, in seinem dritten Spiel schlagen, sonst wird der Trainer entlassen. ““Diese Behauptung kann logisch wie ( W 1 + W 2 ) * H + f , wobei " +" die logische "oder" -Operation und " *" die logische "ist" geschrieben werdenund "Operation.Die disjunktive normale Form für diesen Ausdruck ist W 1 * H + W 2 * H + f .Seine konjunktive normale Form für IS ( W 1 + W 2 + f ) * ( H +
f).Alle drei Ausdrücke sind unter den gleichen Bedingungen zutreffend, daher sind sie logisch äquivalent.Manchmal ist ein System mathematisch ähnlich wie ein anderem, obwohl sie nichts gleich erscheinen.Die Differentialmatrixgleichungen, die zum Modellieren verwendet werden, können mit denen identisch sein, die zur Modellierung des anderen verwendet werden.Diese Ähnlichkeiten werden deutlich, wenn die Systeme in kanonischer Form gegossen werden, wie z. B. beobachtbare kanonische Form oder kontrollierbare kanonische Form.