Τι είναι μια ανάλυση Fourier;

Η ανάλυση Fourier είναι μια μαθηματική μέθοδος που χρησιμοποιείται για τη διάσπαση και τη μετατροπή μιας περιοδικής λειτουργίας mdash;δηλαδή μια μαθηματική σχέση μεταξύ μιας ποσότητας και μιας μεταβλητής ή μεταβλητών των οποίων οι σχετικές τιμές επαναλαμβάνουν σταθερά σε κάποια κανονική χρονική περίοδο mdash;σε ένα σύνολο απλούστερων λειτουργιών που μπορούν στη συνέχεια να αθροιστούν και να μετατραπούν πίσω στην αρχική μορφή.Εφευρέθηκε στις αρχές του 19ου αιώνα, ο Γάλλος φυσικός και μαθηματικός Jean Baptiste Joseph Fourier μετασχημάτισε την εξίσωση μερικής διαφοροποίησης που αντιπροσωπεύει τη διάδοση της θερμότητας σε μια σειρά απλούστερων λειτουργιών τριγωνομετρικού κύματος MDASH.δηλαδή Sines and Cosines Mdash;Αυτό θα μπορούσε να επικαλυφθεί για να ανασυγκροτηθεί η αρχική λειτουργία, παρέχοντας έτσι μια απλούστερη, γενική λύση στο πρόβλημα.

Σήμερα, η ανάλυση Fourier χρησιμοποιείται για την ανάλυση και την καλύτερη κατανόηση ενός ευρέος φάσματος φυσικών και ανθρωπογενών διαδικασιών και φαινομένων.Έχει εφαρμοστεί σε μια ευρύτερη ποικιλία προβλημάτων στις φυσικές και φυσικές επιστήμες και στη μηχανική, συμπεριλαμβανομένης της κβαντικής μηχανικής, της ακουστικής, της ηλεκτρολογικής μηχανικής, της επεξεργασίας εικόνων και σήματος, της νευρολογίας, της οπτικής και της ωκεανογραφίας.

Μια ανάλυση Fourier ξεκινά με ένα μετασχηματισμό Fourier, ο οποίος διασπάται, ή αποσυντίθεται, μια ενιαία, πιο περίπλοκη συνάρτηση περιοδικών κυμάτων σε ένα σύνολο απλούστερων στοιχείων που ονομάζεται σειρά Fourier που παίρνει τη μορφή ημιτονοειδών και συνημιτονικών κυμάτων ή σύνθετων εκθετικών εξισώσεων.Αυτά μπορούν στη συνέχεια να λυθούν χρησιμοποιώντας απλούστερα μαθηματικά και να υπερκεραστούν ή ανασυνδυασμένα για να δώσουν μια λύση στην αρχική λειτουργία μέσω γραμμικού συνδυασμού.Η στενά καθορισμένη, η ανάλυση Fourier αναφέρεται στη διαδικασία αποσύνθεσης της αρχικής λειτουργίας σε μια σειρά απλούστερων εξαρτημάτων.Γενικότερα, μπορεί επίσης να περιλαμβάνει τη σύνθεση Fourier, τη διαδικασία με την οποία η αρχική λειτουργία ανασυγκροτείται με την εκτέλεση ενός αντίστροφου μετασχηματισμού που ουσιαστικά εκτελεί την ανάλυση Fourier στην αντίστροφη.Ως πεδίο της αρμονικής ανάλυσης, η ανάλυση Fourier έχει εξελιχθεί και προχωρήσει για να συμπεριλάβει τη μελέτη πιο αφηρημένων και γενικών φαινομένων.Η ανάλυση Fourier χρησιμοποιείται τώρα ενεργά, τακτικά και ευρέως στην οικονομετρία και τη θεωρία των χρηματοπιστωτικών αγορών από τους ερευνητές και τους επαγγελματίες να προβλέπουν, καθώς και να αναλύουν και να κατανοούν καλύτερα τη φύση και τη συμπεριφορά ενός ευρέος φάσματος δεδομένων και παραμέτρων χρονοσειρών που παρουσιάζουν μη-Γραμμικές σχέσεις και επαναλαμβανόμενες, μοτίβα που μοιάζουν με κύματα με την πάροδο του χρόνου.Μεταξύ των πολλών εφαρμογών της, έχει χρησιμοποιηθεί για τη μοντελοποίηση των μακροπρόθεσμων οικονομικών κύκλων, τη σχέση μεταξύ του πληθωρισμού και της ζήτησης για χρήματα και των προτύπων και των τάσεων στο απόθεμα, το ξένο συνάλλαγμα και τις κατοικίες και τους κύκλους στη βιομηχανία ημιαγωγών,καθώς και για τη μέτρηση της αποτελεσματικότητας μιας εθνικής οικονομίας.