Τι είναι ένας καθοριστικός παράγοντας;

Οι πίνακες είναι μαθηματικά αντικείμενα που μετασχηματίζουν σχήματα.Ο καθοριστικός παράγοντας μιας τετραγωνικής μήτρας Α, που υποδηλώνεται | a |, είναι ένας αριθμός που συνοψίζει το αποτέλεσμα Α σε μέγεθος και προσανατολισμό.Εάν το [ a b ] είναι ο κορυφαίος φορέας σειράς για a και [ c d ] είναι ο φορέας του κάτω σειράς, τότε | a |' ad-bc .

Ο καθοριστικός παράγοντας κωδικοποιεί χρήσιμες πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο μετασχηματισμού των περιοχών μετασχηματισμό μήτρας.Η απόλυτη τιμή του καθοριστικού παράγοντα υποδεικνύει τον συντελεστή κλίμακας της μήτρας, πόσο τεντώνει ή συρρικνώνει ένα σχήμα.Το σημάδι του περιγράφει αν η μήτρα αναστρέφει τα στοιχεία, αποδίδοντας μια εικόνα καθρέφτη.Οι μήτρες μπορούν επίσης να παραμορφώσουν τις περιοχές και να τις περιστρέψουν, αλλά αυτές οι πληροφορίες δεν παρέχονται από τον καθοριστικό παράγοντα.

Αριθμητικά, η μετασχηματιστική δράση μιας μήτρας καθορίζεται από τον πολλαπλασιασμό της μήτρας.Εάν το Α είναι 2 φορές.2 μήτρα με κορυφαία σειρά [ a b ] και κάτω σειρά [ c d ], τότε [1 0] * a ' [ a b ] και [0 1] * a ' [ c d ].Αυτό σημαίνει ότι το Α παίρνει το σημείο (1,0) στο σημείο ( a, b ) και το σημείο (0,1) στο σημείο ( c, d ).Όλοι οι μήτρες αφήνουν την προέλευση ακίνητη, οπότε βλέπουμε ότι το Α μετατρέπει το τρίγωνο με τελικά σημεία στα (0,0), (0,1) και (1,0) σε άλλο τρίγωνο με τελικά σημεία στο (0,0), (Α, Β ), και ( C, D ).Η αναλογία της περιοχής του νέου τριγώνου προς το αρχικό τρίγωνο είναι ίσος με | ad-bc |, η απόλυτη τιμή του | a |

Το σημάδι του καθοριστικού μήτρας περιγράφει αν η μήτρα στρέφει ένα σχήμα.Λαμβάνοντας υπόψη το τρίγωνο με τα τελικά σημεία στα (0,0), (0,1) και (1,0), εάν ένας πίνακας Α διατηρεί το σημείο (0,1) σταθερό ενώ παίρνει το σημείο (1,0) στο σημείο(-1,0), τότε έχει αναστρέψει το τρίγωνο πάνω από τη γραμμή x ' 0. Δεδομένου ότι το a έχει ανατρέψει το σχήμα πάνω, | a |θα είναι αρνητικό.Η μήτρα δεν αλλάζει το μέγεθος μιας περιοχής, έτσι | a |Πρέπει να είναι -1 να είναι συνεπής με τον κανόνα ότι η απόλυτη τιμή του | a |Περιγράφει πόσο ένα τεντώνει μια εικόνα.

Η αριθμητική μήτρα ακολουθεί τον συνεταιριστικό νόμο, πράγμα που σημαίνει ότι ( v *a)*b ' v *(a*b).Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η συνδυασμένη δράση του πρώτου μετασχηματισμού ενός σχήματος με το Matrix Α και στη συνέχεια μετασχηματίζοντας το σχήμα με το Matrix B είναι ισοδύναμο με το μετασχηματισμό του αρχικού σχήματος με το προϊόν (a*b).Κάποιος μπορεί να συμπεράνει από αυτή την παρατήρηση ότι | a |*| b |' | A*B |

Η εξίσωση | A |* | B |' | A*B |έχει σημαντική συνέπεια όταν | a |' 0. Σε αυτή την περίπτωση η δράση του Α δεν μπορεί να ανατραπεί από κάποια άλλη μήτρα Β. Αυτό μπορεί να συναχθεί σημειώνοντας ότι εάν τα Α και Β ήταν αντιστροφές, τότε (Α*β) δεν εκτείνεται ούτε αναστρέφει οποιαδήποτε περιοχή, έτσι | a*B |' 1. Δεδομένου ότι | A |* | B |' | A * B |, αυτή η τελευταία παρατήρηση οδηγεί στην αδύνατη εξίσωση 0 * | B |' 1.

Η αντίστροφη αξίωση μπορεί επίσης να παρουσιαστεί: Εάν το Α είναι τετράγωνο μήτρα με μη -μηδενικό καθοριστικό, τότε a έχει ένα αντίστροφο .Γεωμετρικά, αυτή είναι η δράση οποιασδήποτε μήτρας που δεν ισοπεδώνει μια περιοχή.Για παράδειγμα, η σπατάλη ενός τετραγώνου σε ένα τμήμα γραμμής μπορεί να ανατραπεί από κάποια άλλη μήτρα, που ονομάζεται αντίστροφη.Ένα τέτοιο αντίστροφο είναι το ανάλογο μήτρας ενός αμοιβαίου.