Ano ang isang determinant?

Ang mga matrice ay mga bagay na matematika na nagbabago ng mga hugis.Ang determinant ng isang parisukat na matrix a, na tinukoy | a |, ay isang bilang na nagbubuod sa epekto ng isang laki at orientation ng isang figure.Kung ang [ a b ] ay ang nangungunang hilera vector para sa isang at [ c d ] ay ang ilalim na hilera na vector nito, kung gayon | a |' AD-BC .

Ang isang determinant ay nag -encode ng kapaki -pakinabang na impormasyon tungkol sa kung paano binabago ng isang matrix ang mga rehiyon.Ang ganap na halaga ng determinant ay nagpapahiwatig ng scale factor ng matrix, kung magkano ang lumalawak o pag -urong ng isang figure.Ang pag -sign nito ay naglalarawan kung ang mga figure ng matrix ay nag -flip, na nagbubunga ng imahe ng salamin.Ang mga matrice ay maaari ring mag -skew ng mga rehiyon at paikutin ang mga ito, ngunit ang impormasyong ito ay hindi ibinigay ng determinant.

Arithmetically, ang pagbabago ng pagkilos ng isang matrix ay natutukoy ng pagpaparami ng matrix.Kung ang A ay isang 2 beses;2 matrix na may tuktok na hilera [ a b ] at ilalim na hilera [ c d ], pagkatapos ay [1 0] * a ' [ a b ] at [0 1] * a ' [ c d ].Nangangahulugan ito na tumatagal ang isang punto (1,0) hanggang sa punto ( a, b ) at ang punto (0,1) hanggang sa punto ( c, d ).Ang lahat ng mga matrice ay nag -iiwan ng pinagmulan na hindi napapansin, kaya nakikita ng isa na ang isang pagbabago ng tatsulok na may mga endpoints sa (0,0), (0,1), at (1,0) sa isa pang tatsulok na may mga endpoints sa (0,0), (a, b ), at ( c, d ).Ang ratio ng lugar na ito ng bagong tatsulok sa orihinal na tatsulok ay katumbas ng | ad-bc |, ang ganap na halaga ng | a |.Isinasaalang -alang ang tatsulok na may mga endpoints sa (0,0), (0,1), at (1,0), kung ang isang matrix A ay nagpapanatili ng punto (0,1) na nakatigil habang kumukuha ng punto (1,0) hanggang sa punto.magiging negatibo.Ang matrix ay hindi nagbabago sa laki ng isang rehiyon, kaya | a |dapat maging -1 upang maging naaayon sa panuntunan na ang ganap na halaga ng | a |Inilalarawan kung magkano ang isang pag -uunat ng isang figure.Geometrically, nangangahulugan ito na ang pinagsamang pagkilos ng unang pagbabago ng isang hugis na may matrix A at pagkatapos ay baguhin ang hugis na may matrix B ay katumbas ng pagbabago ng orihinal na hugis gamit ang produkto (A*B).Ang isa ay maaaring magbawas mula sa pagmamasid na ito na | a |*| b |' | A*b |.

Ang equation | a |* | B |' | A*b |ay may isang mahalagang kahihinatnan kapag | a |' 0. Sa kasong iyon ang pagkilos ng A ay hindi maaalis ng ilang iba pang matrix B. Maaari itong maibawas sa pamamagitan ng pagpansin na kung ang A at B ay inverses, kung gayon (a*b) ni ang mga lumalawak o mag -flip ng anumang rehiyon, kaya | a*B |' 1. Dahil | a |* | B |' | A * b |, ang huling pagmamasid na ito ay humahantong sa imposible na equation 0 * | b |' 1. Ang pag -aangkin ng pakikipag -usap ay maaari ding ipakita: Kung ang A ay isang parisukat na matrix na may determinant na nonzero, kung gayon ang isang ay may isang kabaligtaran

.Geometrically, ito ang pagkilos ng anumang matrix na hindi bumagsak sa isang rehiyon.Halimbawa, ang pag -squishing ng isang parisukat sa isang segment ng linya ay maaaring maalis ng ilang iba pang matrix, na tinatawag na kabaligtaran.Ang nasabing kabaligtaran ay ang matrix analog ng isang gantimpala.