Apa itu penentu?

Matriks adalah objek matematika yang mengubah bentuk.Penentu matriks kuadrat A, dilambangkan | a |, adalah angka yang merangkum efek A terhadap ukuran dan orientasi gambar.Jika [ A B ] adalah vektor baris atas untuk A dan [ C D ] adalah vektor baris bawahnya, maka | A |' ad-bc .

Penentu mengkodekan informasi yang berguna tentang bagaimana matriks mengubah daerah.Nilai absolut dari penentu menunjukkan faktor skala matriks, berapa banyak yang merentangkan atau menyusut angka.Tandanya menjelaskan apakah matriks membalik angka, menghasilkan gambar cermin.Matriks juga dapat condong daerah dan memutarnya, tetapi informasi ini tidak disediakan oleh penentu.

Secara aritmetis, aksi transformasi dari suatu matriks ditentukan oleh multiplikasi matriks.Jika A adalah 2 kali;2 matriks dengan baris atas [ A B ] dan baris bawah [ C D ], lalu [1 0] * a ' [ A B ] dan [0 1] * a ' [ C D ].Ini berarti bahwa A mengambil titik (1,0) ke titik ( a, b ) dan titik (0,1) ke titik ( C, d ).Semua matriks meninggalkan asal tidak tergerak, jadi orang melihat bahwa A mengubah segitiga dengan titik akhir pada (0,0), (0,1), dan (1,0) menjadi segitiga lain dengan titik akhir pada (0,0), ( a, b ), dan ( c, d ).Rasio area segitiga baru ini terhadap segitiga asli sama dengan | ad-bc

|, nilai absolut | a |.

Tanda penentu matriks menggambarkan apakah matriks membalik bentuk.Mempertimbangkan segitiga dengan titik akhir pada (0,0), (0,1), dan (1,0), jika matriks A menjaga titik (0,1) stasioner saat mengambil titik (1,0) ke titik(-1,0), maka telah membalik segitiga di atas garis x

' 0. karena A telah membalik sosok itu, | A |akan negatif.Matriks tidak mengubah ukuran suatu wilayah, jadi | a |harus -1 agar konsisten dengan aturan bahwa nilai absolut | a |menggambarkan seberapa banyak peregangan suatu gambar.

Aritmatika matriks mengikuti hukum asosiatif, yang berarti bahwa ( v *a)*b ' v

*(a*b).Secara geometris, ini berarti bahwa aksi kombinasi pertama mengubah bentuk dengan matriks A dan kemudian mengubah bentuk dengan matriks B setara dengan mengubah bentuk asli dengan produk (A*B).Orang dapat menyimpulkan dari pengamatan ini bahwa | A |*| B |' | A*B |.

Persamaan | A |* | B |' | A*B |memiliki konsekuensi penting ketika | A |' 0. Dalam hal ini aksi A tidak dapat dibatalkan oleh beberapa matriks lain B. Ini dapat disimpulkan dengan mencatat bahwa jika A dan B terbalik, maka (A*B) tidak membentang atau membalik daerah mana pun, jadi | a*B |' 1. Sejak | A |* | B |' | A * B |, pengamatan terakhir ini mengarah pada persamaan yang mustahil 0 * | B |' 1.

Klaim Converse juga dapat ditampilkan: Jika a adalah matriks persegi dengan penentu bukan nol, maka A memiliki terbalik

.Secara geometris, ini adalah tindakan matriks apa pun yang tidak meratakan suatu wilayah.Misalnya, memasukkan kotak ke dalam segmen garis dapat dibatalkan oleh beberapa matriks lain, yang disebut terbalik.Kebalikannya adalah analog matriks dari timbal balik.