Τι είναι ένα coset;

Ένα COSET είναι ένας συγκεκριμένος τύπος υποομάδων μαθηματικής ομάδας.Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να εξετάσει το σύνολο όλων των ολοκληρωμένων πολλαπλών πολλαπλών των 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, το οποίο μπορεί να σημειωθεί ως 7 z .Η προσθήκη 3 σε κάθε αριθμό δημιουργεί το σύνολο {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, που οι μαθηματικοί περιγράφουν ως 7 z + 3. Αυτό το τελευταίο σετ ονομάζεται Coset του 7 z που δημιουργείται από 3.

Υπάρχουν δύο σημαντικές ιδιότητες του 7 z .Εάν ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο των 7, το ίδιο είναι το πρόσθετο αντίστροφο.Το πρόσθετο αντίστροφο του 7 είναι -7, το πρόσθετο αντίστροφο των 14 είναι -14 και ούτω καθεξής.Επίσης, προσθέτοντας ένα πολλαπλάσιο από 7 σε ένα άλλο πολλαπλάσιο των 7 αποδόσεων ένα πολλαπλάσιο των 7. Οι μαθηματικοί περιγράφουν αυτό λέγοντας ότι τα πολλαπλάσια των 7 είναι "κλειστά" υπό τη λειτουργία της προσθήκης. Αυτά τα δύο χαρακτηριστικά είναι γιατί 7

z

είναιπου ονομάζεται υποομάδα των ακεραίων υπό προσθήκη.Μόνο οι υποομάδες έχουν cosets.Το σύνολο όλων των κυβικών αριθμών, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, δεν έχει cosets με τον ίδιο τρόπο όπως το 7 z επειδή δεν είναι κλειστόυπό την προσθήκη: 1 + 8 ' 9 και 9 δεν είναι κυβικός αριθμός.Ομοίως, το σύνολο όλων των θετικών ομοιόμορφων αριθμών, {2, 4, 6, ...}, δεν έχει cosets επειδή δεν περιέχει αντιστροφές. Ο λόγος για αυτές τις διατάξεις είναι ότι κάθε αριθμός πρέπει να είναι ακριβώς σε ένα coset.Στην περίπτωση των {2, 4, 6, ...}, 6 βρίσκεται στο coset που παράγεται από το 4 και βρίσκεται στο coset που παράγεται από το 2, αλλά αυτά τα δύο cosets δεν είναι πανομοιότυπα.Αυτά τα δύο κριτήρια αρκεί για να διασφαλιστεί ότι κάθε στοιχείο βρίσκεται σε ακριβώς ένα coset.Μια χρήσιμη ομάδα που μπορεί κανείς να εξετάσει είναι το σύνολο όλων των τρόπων για να μετακινήσετε ένα τετράγωνο χωρίς να αλλάξετε την περιοχή που καλύπτει.Εάν ένα τετράγωνο περιστρέφεται 90 μοίρες, δεν υπάρχει εμφανής αλλαγή στο σχήμα.Ομοίως, μπορεί να αναστραφεί κάθετα, οριζόντια ή σε διαγώνιο χωρίς να αλλάξει την περιοχή τα τετράγωνα καλύμματα.Οι μαθηματικοί ονομάζουν αυτή την ομάδα

d

4

d

4

έχει οκτώ στοιχεία.Δύο στοιχεία θεωρούνται πανομοιότυπα εάν αφήσουν όλες τις γωνίες στον ίδιο τόπο, οπότε η περιστροφή του τετραγώνου δεξιόστροφα τέσσερις φορές θεωρείται το ίδιο με το να μην κάνει τίποτα.Με αυτό το πνεύμα, τα οκτώ στοιχεία μπορούν να δηλώνονται e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , και d d .Το " e " αναφέρεται στο να μην κάνει τίποτα, και " r 2 " δηλώνει ότι κάνει δύο περιστροφές.Κάθε ένα από τα τελευταία τέσσερα στοιχεία αναφέρεται στην εκτόξευση της πλατείας: κάθετα, οριζόντια ή κατά μήκος των διαγώνιων προς τα πάνω ή προς τα κάτω.. d 4 δεν είναι Abelian.Περιστρέφοντας ένα τετράγωνο και στη συνέχεια το στρέφοντας οριζόντια δεν μετακινεί τις γωνίες με τον ίδιο τρόπο όπως το στρέφοντας και στη συνέχεια περιστρέφει.

Όταν εργάζονται σε μη μεταβλητικές ομάδες, οι μαθηματικοί συνήθως χρησιμοποιούν ένα * για να περιγράψουν τη λειτουργία.Μια μικρή δουλειά δείχνει ότι περιστρέφοντας το τετράγωνο και στη συνέχεια το στρέφει οριζόντια, r * h , είναι το ίδιο με το να το στρέφει σε όλη τη διαγώνια του.Έτσι r * h ' d d

.Η περιστροφή του τετραγώνου και στη συνέχεια η περιστροφή είναι ισοδύναμη με την αναστροφή του σε όλη τη διαγώνια του, οπότε r * h ' d u

.Όταν εργάζεστε στους ακέραιους ακέραιους, η φράση "η coset του 7 z που παράγεται από το 3" είναι ξεκάθαρη επειδή δεν έχει σημασία αν προστίθεται 3 στα αριστερά ή δεξιά κάθε πολλαπλού 7. Για μια υποομάδα d 4 , ωστόσο, διαφορετικές παραγγελίες θα δημιουργήσουν διαφορετικά cosets.Με βάση τους υπολογισμούς που περιγράφουν προηγουμένως, r * h , το αριστερό coset του H που δημιουργείται από r -equals { r, d d } αλλά h * r ισούται ( r, d u }. Η απαίτηση ότι κανένα στοιχείο δεν είναι σε δύο διαφορετικά cosets δεν ισχύειΚατά τη σύγκριση των σωστών cosets με τα αριστερά cosets.

Τα δεξιά cosets του h Μην ταιριάζουν με τα αριστερά του cosets. Δεν είναι όλες οι υποομάδες του d 4 να μοιραστούν αυτήν την ιδιότητα.Το τετράγωνο, r ' { e, r, r 2 , r 3 }

Λίγο υπολογισμό δείχνει ότι τα αριστερά cosets του είναι τα ίδια με τα δεξιά cosets της. Μια τέτοια υποομάδα ονομάζεται κανονικήΟι κανονικές υποομάδες είναι εξαιρετικά σημαντικές στην αφηρημένη άλγεβρα, επειδή πάντα κωδικοποιούν επιπλέον πληροφορίες. Για παράδειγμα, τα δύο πιθανά cosets του R ισοδυναμούν με τις δύο πιθανές καταστάσεις "η πλατεία έχει αναστραφεί" και "η πλατεία δεν έχει αναστραφεί."