Ano ang isang coset?
Ang isang coset ay isang tiyak na uri ng subset ng isang pangkat na matematika.Halimbawa, maaaring isaalang -alang ng isa ang hanay ng lahat ng mga integral na multiple ng 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, na maaaring maipahiwatig bilang 7 z .Ang pagdaragdag ng 3 sa bawat numero ay bumubuo ng set {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, na inilarawan ng mga matematika bilang 7 z + 3. Ang huli na ito ay tinatawag na coset ng 7 z Nabuo ng 3.
Mayroong dalawang mahahalagang katangian ng 7 z .Kung ang isang numero ay isang maramihang 7, gayon din ang additive na kabaligtaran.Ang additive na kabaligtaran ng 7 ay -7, ang additive na kabaligtaran ng 14 ay -14, at iba pa.Gayundin, ang pagdaragdag ng isang maramihang 7 sa isa pang maramihang 7 ay nagbubunga ng maramihang 7. Inilarawan ito ng mga matematika sa pamamagitan ng pagsasabi na ang mga multiple ng 7 ay "sarado" sa ilalim ng pagpapatakbo ng karagdagan.
Ang dalawang katangiang ito ang dahilan kung bakit 7 z aytinatawag na isang subgroup ng mga integer sa ilalim ng karagdagan.Ang mga subgroup lamang ang may mga coset.Ang hanay ng lahat ng mga cubic number, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, ay walang mga coset sa parehong paraan tulad ng 7 z dahil hindi ito saradoSa ilalim ng karagdagan: 1 + 8 ' 9, at 9 ay hindi isang cubic number.Katulad nito, ang hanay ng lahat ng positibo kahit na mga numero, {2, 4, 6, ...}, ay walang mga coset dahil hindi ito naglalaman ng mga inverses..Sa kaso ng {2, 4, 6, ...}, 6 ay nasa coset na nabuo ng 4 at nasa coset na nabuo ng 2, ngunit ang dalawang cosets ay hindi magkapareho.Ang dalawang pamantayang ito ay sapat na upang matiyak na ang bawat elemento ay nasa eksaktong isang coset.Ang isang kapaki -pakinabang na pangkat na maaaring isaalang -alang ng isa ay ang hanay ng lahat ng mga paraan upang ilipat ang isang parisukat nang hindi binabago ang rehiyon na sumasakop ito.Kung ang isang parisukat ay pinaikot 90 degree, walang maliwanag na pagbabago sa hugis.Katulad nito, maaari itong i -flip nang patayo, pahalang o sa alinman sa dayagonal nang hindi binabago ang rehiyon ang mga parisukat na takip.Tinatawag ng mga matematiko ang pangkat na ito
D 4. D
4ay may walong elemento.Ang dalawang elemento ay itinuturing na magkapareho kung iniwan nila ang lahat ng mga sulok sa parehong lugar, kaya ang pag -ikot ng parisukat na sunud -sunod na apat na beses ay itinuturing na kapareho ng paggawa ng wala.Sa pag -iisip nito, ang walong elemento ay maaaring maipahiwatig e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , at d d .Ang " e " ay tumutukoy sa walang ginagawa, at ang " r 2 " ay nagpapahiwatig ng paggawa ng dalawang pag -ikot.Ang bawat isa sa huling apat na elemento ay tumutukoy sa pag-flipping ng parisukat: patayo, pahalang o kasama ang paitaas o pababang-slanting dayagonal.. D 4 ay hindi Abelian.Ang pag-ikot ng isang parisukat at pagkatapos ay i-flipping ito nang pahalang ay hindi gumagalaw sa mga sulok sa parehong paraan tulad ng pag-flipping nito at pagkatapos ay iikot ito.Ang isang maliit na trabaho ay nagpapakita na ang pag -ikot ng parisukat at pagkatapos ay i -flipping ito nang pahalang,
r * h, ay pareho sa pag -flipping nito sa pababang dayagonal.Sa gayon r * h ' d d .Ang pag -flipping ng parisukat at pagkatapos ay umiikot ito ay katumbas ng pag -flipping nito sa buong pataas na dayagonal, kaya ang mga bagay na
4.Kapag nagtatrabaho sa mga integer, ang pariralang "ang coset ng 7 z na nabuo ng 3" ay hindi malabo dahil hindi mahalaga kung ang 3 ay idinagdag sa kaliwa o kanan ng bawat maramihang 7. para sa isang subgroup ng d 4 , gayunpaman, ang iba't ibang mga order ay lilikha ng iba't ibang mga coset.Batay sa mga kalkulasyon na inilarawan nang mas maaga, r * h , ang kaliwang coset ng
H nabuo ng r -equals { r, d d } ngunit h * r katumbas ( r, d u }. Ang kahilingan na walang elemento na nasa dalawang magkakaibang mga koseta ay hindi nalalapatKapag inihahambing ang mga kanang coset sa kaliwang cosets.Ang parisukat, r' { e, r, r 2 , r 3 }.Ang subgroup. Ang mga normal na subgroup ay napakahalaga sa abstract algebra dahil palagi silang naka -encode ng labis na impormasyon. Halimbawa, ang dalawang posibleng mga cosets ng r ay katumbas ng dalawang posibleng sitwasyon na "Ang parisukat ay na -flip" at "ang parisukat ay hindi pa -flip.”