Apa itu coset?
Coset adalah jenis subset spesifik dari kelompok matematika.Misalnya, orang dapat mempertimbangkan himpunan semua kelipatan integral dari 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, yang dapat dilambangkan sebagai 7 z .Menambahkan 3 ke setiap angka menghasilkan set {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, yang digambarkan oleh ahli matematika sebagai 7 z + 3. Set terakhir ini disebut coset 7 z z Dihasilkan oleh 3.
Ada dua sifat penting 7 z .Jika angka adalah kelipatan 7, demikian juga aditifnya.Kebalikan aditif 7 adalah -7, kebalikan aditif 14 adalah -14, dan seterusnya.Juga, menambahkan kelipatan 7 ke kelipatan lain dari 7 menghasilkan kelipatan 7. Matematikawan menggambarkan hal ini dengan mengatakan bahwa kelipatan 7 adalah "tertutup" di bawah operasi penambahan.
Dua karakteristik ini adalah mengapa 7 z adalahdisebut subkelompok bilangan bulat di bawah tambahan.Hanya subkelompok yang memiliki coset.Himpunan semua angka kubik, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, tidak memiliki coset dengan cara yang sama seperti 7 z karena tidak ditutupDi bawah penambahan: 1 + 8 ' 9, dan 9 bukan angka kubik.Demikian pula, himpunan semua angka genap positif, {2, 4, 6, ...}, tidak memiliki coset karena tidak mengandung invers.
Alasan untuk ketentuan ini adalah bahwa setiap angka harus tepat satu coset.Dalam kasus {2, 4, 6, ...}, 6 ada di coset yang dihasilkan oleh 4 dan berada di coset yang dihasilkan oleh 2, tetapi kedua coset itu tidak identik.Kedua kriteria ini cukup untuk memastikan bahwa setiap elemen tepat satu coset.
Coset ada dalam kelompok apa pun, dan beberapa kelompok jauh lebih rumit daripada bilangan bulat.Kelompok yang berguna yang mungkin dipertimbangkan adalah himpunan semua cara untuk memindahkan kuadrat tanpa mengubah wilayah yang diliputnya.Jika persegi diputar 90 derajat, tidak ada perubahan yang jelas dalam bentuk.Demikian pula, dapat dibalik secara vertikal, horizontal, atau melintasi diagonal tanpa mengubah daerah penutup persegi.Matematikawan menyebut grup ini D 4 .
D 4 memiliki delapan elemen.Dua elemen dianggap identik jika mereka meninggalkan semua sudut di tempat yang sama, jadi memutar persegi searah jarum jam empat kali dianggap sama dengan tidak melakukan apa pun.Dengan mengingat hal ini, delapan elemen dapat dilambangkan e, r, r 2 , r 3 , v, h, d d , dan d d ." e " mengacu pada tidak melakukan apa -apa, dan " r 2 " menunjukkan melakukan dua rotasi.Masing-masing dari empat elemen terakhir mengacu pada membalik kuadrat: secara vertikal, horizontal, atau di sepanjang diagonal ke atas atau ke bawah..
D4 bukan Abelian.Memutar persegi dan kemudian membalikkannya secara horizontal tidak menggerakkan sudut dengan cara yang sama seperti membalik dan kemudian memutarnya. Saat bekerja dalam kelompok non-komutatif, matematikawan biasanya menggunakan * untuk menggambarkan operasi.Sebuah karya kecil menunjukkan bahwa memutar kuadrat dan kemudian membaliknya secara horizontal,
r * h, sama dengan membalikkannya melintasi diagonal ke bawah.Jadi r * h ' d d .Membalik kotak dan kemudian berputar itu setara dengan membalikkannya melintasi diagonal ke atas, jadi r * h ' d u . Pesanan penting dalam
d4 , jadi seseorang harus lebih tepat ketika menggambarkan coset.Saat bekerja di bilangan bulat, frasa “coset 7 z yang dihasilkan oleh 3” tidak ambigu karena tidak masalah apakah 3 ditambahkan di kiri atau kanan masing -masing kelipatan 7. Untuk subkelompok D 4 Namun, pesanan yang berbeda akan membuat coset yang berbeda.Berdasarkan perhitungan yang dijelaskan sebelumnya, r * h , coset kiri H dihasilkan oleh r - equals { r, d d } tetapi h * r sama ( r, d u }. Persyaratan bahwa tidak ada elemen yang ada dalam dua coset berbeda yang tidak berlakuSaat membandingkan coset kanan dengan coset kiri.
Coset kanan h tidak cocok dengan coset kiri. Tidak semua subkelompok d 4 Bagikan properti ini. Seseorang dapat mempertimbangkan subkelompok r dari semua rotasi darikuadrat, r ' { e, r, r 2 , r 3 }.
Sedikit perhitungan menunjukkan bahwa coset kirinya sama dengan coset kanannya. Subkelompok seperti itu disebut normalSubkelompok. Subkelompok normal sangat penting dalam aljabar abstrak karena mereka selalu menyandikan informasi tambahan. Misalnya, dua coset yang mungkin dari R disamakan dengan dua situasi yang mungkin “kuadrat telah dibalik” dan “kuadrat belum dibalik.”