Một coset là gì?
Một coset là một loại tập hợp con cụ thể của một nhóm toán học.Ví dụ, người ta có thể xem xét tập hợp của tất cả các bội số tích phân của 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, có thể được ký hiệu là 7
z.Thêm 3 vào mỗi số tạo tập {... -11, -4, 3, 10, 17 ...}, mà các nhà toán học mô tả là 7 z + 3. Bộ sau này được gọi là coset của 7 zĐược tạo bởi 3. Có hai tính chất quan trọng của 7 z.Nếu một số là bội số của 7, thì nghịch đảo phụ gia của nó cũng vậy.Nghịch đảo phụ gia của 7 là -7, nghịch đảo phụ gia của 14 là -14, v.v.Ngoài ra, việc thêm bội số của 7 vào bội số khác của 7 mang lại bội số của 7. Các nhà toán học mô tả điều này bằng cách nói rằng bội số của 7 là đóng cửa theo hoạt động bổ sung. Hai đặc điểm này là lý do tại sao 7 z làđược gọi là một nhóm con của các số nguyên trong cộng thêm.Chỉ các nhóm nhỏ có coset.Tập hợp tất cả các số khối, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, không có coset theo cách tương tự như 7
z vì nó không được đóngTrong cộng thêm: 1 + 8 ' 9 và 9 không phải là số khối.Tương tự, tập hợp tất cả các số chẵn dương, {2, 4, 6, ...}, không có coset vì nó không chứa nghịch đảo..Trong trường hợp {2, 4, 6, ...}, 6 nằm trong coset được tạo bởi 4 và nằm trong coset được tạo bởi 2, nhưng hai coset đó không giống nhau.Hai tiêu chí này đủ để đảm bảo rằng mỗi phần tử nằm trong chính xác một coset.cosets tồn tại trong bất kỳ nhóm nào và một số nhóm phức tạp hơn nhiều so với các số nguyên.Một nhóm hữu ích mà người ta có thể xem xét là tập hợp tất cả các cách để di chuyển một hình vuông mà không thay đổi khu vực mà nó bao gồm.Nếu một hình vuông được xoay 90 độ, không có sự thay đổi rõ ràng về hình dạng.Tương tự, nó có thể được lật theo chiều dọc, theo chiều ngang hoặc trên một trong hai đường chéo mà không thay đổi vùng vỏ vuông.Các nhà toán học gọi nhóm này d
4 . D 4 có tám yếu tố.Hai yếu tố được coi là giống hệt nhau nếu chúng để tất cả các góc ở cùng một nơi, do đó, xoay bình phương theo chiều kim đồng hồ bốn lần được coi là giống như không làm gì cả.Với suy nghĩ này, tám yếu tố có thể được ký hiệu là e, r, r
2, r3, v, h, d
d, và d d
.Cáce e đề cập đến không làm gì cả, và r 2 biểu thị thực hiện hai vòng quay.Mỗi trong số bốn yếu tố cuối cùng đề cập đến việc lật hình vuông: theo chiều dọc, chiều ngang hoặc dọc theo các đường chéo đi hướng lên hoặc hướng xuống của nó.. D 4 không phải là Abelian.Xoay một hình vuông và sau đó lật nó theo chiều ngang không di chuyển các góc giống như lật nó và sau đó xoay nó. Khi làm việc trong các nhóm không hội đồng, các nhà toán học thường sử dụng A * để mô tả hoạt động.Một công việc nhỏ cho thấy xoay hình vuông và sau đó lật nó theo chiều ngang, r * h , giống như lật nó qua đường chéo hướng xuống của nó.Do đó r * h ' d d .Lật hình vuông và sau đó xoay nó tương đương với việc lật nó qua đường chéo hướng lên của nó, vì vậy r * h ' d u ..Khi làm việc trong các số nguyên, cụm từ coset của 7 z
được tạo bởi 3 3 không rõ ràng vì không quan trọng là 3 được thêm vào bên trái hay bên phải của bội số 7. Đối với một nhóm phụ củad 4, tuy nhiên, các đơn đặt hàng khác nhau sẽ tạo ra các coset khác nhau.Dựa trên các tính toán mô tả trước đó, r *
h, coset bên trái của H Được tạo bởi Riêu bình đẳng {r, d d} nhưng h * r bằng ( r, d u}.Khi so sánh các coset phải với các coset bên trái. Các coset bên phải của h không khớp với coset bên trái của nó. Không phải tất cả các nhóm của d 4 Chia sẻ thuộc tính này.hình vuông,
r' { e, r, r 2 , r 3}. Một tính toán nhỏ cho thấy các coset bên trái của nó giống như coset bên phải của nó.Nhóm phân nhóm. Các nhóm nhỏ bình thường là cực kỳ quan trọng trong đại số trừu tượng vì chúng luôn mã hóa thêm thông tin. Ví dụ, hai coset có thể của r tương đương với hai tình huống có thể xảy ra. Quảng trường đã bị lật và hình vuông chưa được lật."