Mi az a coset?

A coset a matematikai csoport egy speciális alcsoportja.Például, figyelembe vehetjük az összes integrált szorzó halmazát 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ...}, amelyet 7 z -ként lehet jelölni.Az egyes számokhoz 3 hozzáadásával generálja a {... -11, -4, 3, 10, 17 ...} halmazt, amelyet a matematikusok 7 z + 3 -ként írnak le 3 -ból generálva.

Két fontos tulajdonság 7

Z .Ha egy szám 7 -es többszörös, akkor az adalékanyag -inverz.A 7 -es additív inverz -7, a 14 -es adalékanyag -14 és így tovább.Ezenkívül, ha hozzáadjuk a 7 -es többszöröset a 7 -ből egy másik többszöröshez, a Mathematikusok ezt írják le, mondván, hogy a 7 -es többszörösek „bezáródnak” a kiegészítés működése alatt.

Ez a két tulajdonság miértaz egész számok alcsoportjának hívják.Csak az alcsoportoknak vannak koszók.Az összes köbös szám halmaza, {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ...}, nem rendelkezik koszóval, mint 7

z , mert nincs bezárvakiegészítés alatt: 1 + 8 ' 9 és 9 nem köbméter.Hasonlóképpen, az összes pozitív egyenletes szám halmaza, {2, 4, 6, ...}, nem rendelkezik koszóval, mert nem tartalmaz inverzeket.-A {2, 4, 6, ...} esetében a 6 a 4 által generált cosetben van, és a 2 által generált coset -ben van, de ez a két coset nem azonos.Ez a két kritérium elegendő annak biztosítása érdekében, hogy minden elem pontosan egy coset -ben legyen. Cosets létezik bármely csoportban, és néhány csoport sokkal bonyolultabb, mint az egész számok.Hasznos csoport, amelyet figyelembe vehet, az a négyzet mozgatásának minden módja, anélkül, hogy megváltoztatná a lefedett régiót.Ha egy négyzetet 90 fokkal elforgatnak, akkor nincs látszólagos változás az alakban.Hasonlóképpen, függőlegesen, vízszintesen vagy átlósan áthaladhat, anélkül, hogy megváltoztatná a négyzethuzatot.A matematikusok ezt a csoportot hívják d

4

d 4

nyolc elemnek.Két elemet azonosnak tekintünk, ha az összes sarkot ugyanabban a helyen hagyják, így a négyzetet az óramutató járásával megegyezően négyszer forgatják, ugyanúgy, mint a semmit.Ezt szem előtt tartva, a nyolc elemet meg lehet jelölni

e, r, r 2 , r ₃ , v, h, d d ^, és ^d d .A „ e ” nem tesz semmit, és a „ _r 2 ” két forgást jelöl.Az utóbbi négy elem mindegyike a négyzet átfordítása: függőlegesen, vízszintesen vagy annak felfelé vagy lefelé sújtó átlók mentén.. d ⁴ nem abelian.A négyzet forgatása, majd vízszintesen történő forgatása nem mozgatja a sarkokat ugyanúgy, mint a forgatás, majd forgatni.Egy kis munka azt mutatja, hogy a négyzet elforgatása, majd vízszintesen megfordítva, r * h

, ugyanaz, mint a lefelé mutató átlós átfordulása.Így

r * h ' d d _{.A négyzet átfordítása, majd a forgatás egyenértékű a felfelé átló átlós átleléssel, tehát} r * h ' d

u

.-Az egész számban dolgozik, a „7 z 3 által generált coset” kifejezés egyértelmű, mivel nem számít, hogy 3 -at adnak -e a 7. alcsoport bal oldalán vagy jobb oldalán.4 _{Ugyanakkor a különböző megrendelések különböző cosets -t hoznak létre.A korábban leírt számítások alapján} r * h _{, a bal oldali koszkát} H r - egyenlőség által generált { r, d _d }, de h * r egyenlő ( r, d _u }.Ha összehasonlítja a jobb koszort a bal cosets -rel.A négyzet,

r

' { e, r, r 2 , r 3 }.alcsoportok. A normál alcsoportok rendkívül fontosak az absztrakt algebrában, mivel mindig extra információkat kódolnak. Például a két lehetséges r lehetséges koszorú a két lehetséges helyzetnek felel meg: „A négyzet megfordult” és „a négyzetet nem fordítják meg.”