COSET คืออะไร?

A COSET เป็นประเภทย่อยเฉพาะของกลุ่มคณิตศาสตร์ตัวอย่างเช่นหนึ่งอาจพิจารณาชุดของทวีคูณทั้งหมดของ 7, {... -14, -7, 0, 7, 14 ... } ซึ่งสามารถแสดงเป็น 7 z การเพิ่ม 3 ในแต่ละหมายเลขจะสร้างชุด {... -11, -4, 3, 10, 17 ... } ซึ่งนักคณิตศาสตร์อธิบายว่า 7 z + 3 ชุดหลังนี้เรียกว่า coset ของ 7 zสร้างโดย 3.

มีคุณสมบัติที่สำคัญสองประการของ 7 z หากตัวเลขเป็นคูณ 7 ดังนั้นจึงเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามค่าผกผันของสารเติมแต่งของ 7 คือ -7, ผกผันเพิ่มเติมของ 14 คือ -14 และอื่น ๆนอกจากนี้การเพิ่มจำนวน 7 ของ 7 ไปยังอีกหลายอย่างของ 7 ให้ผลผลิตหลายของ 7 นักคณิตศาสตร์อธิบายสิ่งนี้โดยบอกว่าทวีคูณของ 7 เป็น "ปิด" ภายใต้การดำเนินการเพิ่มเติม

คุณลักษณะทั้งสองนี้เป็นเหตุผลว่าทำไม 7 z คือเรียกว่ากลุ่มย่อยของจำนวนเต็มภายใต้กลุ่มย่อยเท่านั้นที่มี cosetsชุดของตัวเลขลูกบาศก์ทั้งหมด {... -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 ... }, ไม่มี cosets ในลักษณะเดียวกับ 7 z เพราะมันไม่ได้ปิดนอกจากนี้: 1 + 8 ' 9 และ 9 ไม่ใช่เลขลูกบาศก์ในทำนองเดียวกันชุดของตัวเลขบวกทั้งหมด {2, 4, 6, ... } ไม่มี cosets เพราะมันไม่มีการผกผัน

เหตุผลสำหรับข้อกำหนดเหล่านี้คือทุกหมายเลขควรอยู่ใน coset หนึ่ง.ในกรณีของ {2, 4, 6, ... }, 6 อยู่ใน COSET ที่สร้างขึ้นโดย 4 และอยู่ใน COSET ที่สร้างขึ้นโดย 2 แต่ COSET ทั้งสองนั้นไม่เหมือนกันเกณฑ์ทั้งสองนี้พอเพียงเพื่อให้แน่ใจว่าแต่ละองค์ประกอบอยู่ในหนึ่ง coset

cosets มีอยู่ในกลุ่มใด ๆ และบางกลุ่มมีความซับซ้อนมากกว่าจำนวนเต็มกลุ่มที่มีประโยชน์ที่อาจพิจารณาคือชุดของวิธีการทั้งหมดในการย้ายสี่เหลี่ยมโดยไม่ต้องเปลี่ยนภูมิภาคที่ครอบคลุมหากสี่เหลี่ยมหมุน 90 องศาไม่มีการเปลี่ยนแปลงที่ชัดเจนในรูปร่างในทำนองเดียวกันมันสามารถพลิกในแนวตั้งแนวนอนหรือข้ามเส้นทแยงมุมโดยไม่ต้องเปลี่ยนพื้นที่ที่ครอบคลุมสี่เหลี่ยมนักคณิตศาสตร์เรียกกลุ่มนี้

d 4 _.

d 4 _{มีแปดองค์ประกอบองค์ประกอบสององค์ประกอบจะถือว่าเหมือนกันหากพวกเขาทิ้งมุมทั้งหมดไว้ในที่เดียวกันดังนั้นการหมุนสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมตามเข็มนาฬิกาสี่ครั้งถือว่าเป็นเช่นเดียวกับการไม่ทำอะไรเลยด้วยสิ่งนี้ในใจองค์ประกอบแปดสามารถแสดงได้} e, r, r 2 ^{, r} 3 ^{, v, h, d} d _, และ d d “ e ” หมายถึงการไม่ทำอะไรเลยและ“ r 2 ” หมายถึงการหมุนสองครั้งแต่ละองค์ประกอบสุดท้ายสี่องค์ประกอบหมายถึงการพลิกสี่เหลี่ยม: แนวตั้งแนวนอนหรือตามแนวเส้นทแยงมุมที่สูงขึ้นหรือลง- หรือลงไป

จำนวนเต็มเป็นกลุ่ม Abelian หมายถึงการดำเนินการของมันเป็นไปตามกฎหมายการเดินทาง: 3 + 2 ' 2 + 3 3.

D 4 _{ไม่ใช่ Abelianการหมุนสี่เหลี่ยมจากนั้นพลิกในแนวนอนจะไม่ขยับมุมในลักษณะเดียวกับการพลิกแล้วหมุนมัน}

เมื่อทำงานในกลุ่มที่ไม่ใช่การสื่อสารนักคณิตศาสตร์มักจะใช้ A * เพื่ออธิบายการดำเนินการงานเล็ก ๆ น้อย ๆ แสดงให้เห็นว่าการหมุนสี่เหลี่ยมจากนั้นพลิกในแนวนอน

r * h เป็นเช่นเดียวกับการพลิกมันข้ามเส้นทแยงมุมลงดังนั้น r * h ' d d การพลิกสี่เหลี่ยมจากนั้นหมุนมันเทียบเท่ากับการพลิกมันข้ามเส้นทแยงมุมขึ้นไปดังนั้น r * h ' d u

เรื่องคำสั่งซื้อใน d 4 ดังนั้นเราจึงต้องแม่นยำยิ่งขึ้นเมื่ออธิบาย cosets.เมื่อทำงานในจำนวนเต็มวลี“ coset ของ 7 z สร้างโดย 3” นั้นไม่คลุมเครือเพราะไม่สำคัญว่าจะเพิ่ม 3 ทางด้านซ้ายหรือขวาของแต่ละมัลติ 7 สำหรับกลุ่มย่อยของ d 4 อย่างไรก็ตามคำสั่งซื้อที่แตกต่างกันจะสร้าง cosets ที่แตกต่างกันจากการคำนวณอธิบายก่อนหน้านี้ r * h , coset ซ้ายของH สร้างโดย r - equals { r, d _d } แต่ h * r เท่ากับ ( r, d _u } ข้อกำหนดที่ไม่มีองค์ประกอบใดใน cosets ที่แตกต่างกันเมื่อเปรียบเทียบ cosets ขวากับ cosets ซ้าย

cosets ขวาของ h ไม่ตรงกับ cosets ซ้ายไม่ใช่กลุ่มย่อยทั้งหมดของ d ₄ แบ่งปันคุณสมบัตินี้เราสามารถพิจารณากลุ่มย่อย r ของการหมุนทั้งหมดของการหมุนทั้งหมดของสแควร์, r ' { e, r, r ² , r ³ }. การคำนวณเล็กน้อยแสดงให้เห็นว่า cosets ซ้ายของมันเหมือนกับ cosets ขวาของมันกลุ่มย่อยเรียกว่าปกติกลุ่มย่อยกลุ่มย่อยปกติมีความสำคัญอย่างยิ่งในพีชคณิตนามธรรมเพราะพวกเขาเข้ารหัสข้อมูลพิเศษเสมอตัวอย่างเช่น cosets ที่เป็นไปได้สองตัวของ

r

เท่ากับสถานการณ์ที่เป็นไปได้สองสถานการณ์”