Τι είναι ο πρωταρχικός αριθμός Mersenne;

Ένας πρωταρχικός αριθμός Mersenne είναι ένας πρωταρχικός αριθμός που είναι λιγότερο από μια δύναμη δύο.Περίπου 44 έχουν ανακαλυφθεί μέχρι σήμερα. Για πολλά χρόνια θεωρήθηκε ότι όλοι οι αριθμοί του έντυπου 2 ⁿ - 1 ήταν πρωταρχικοί.Τον 16ο αιώνα, ωστόσο, ο Hudalricus Regius απέδειξε ότι 2 ¹¹ -1 ήταν 2047, με τους παράγοντες 23 και 89. Ένας αριθμός άλλων αντι-παραμέτρων παρουσιάστηκε τα επόμενα χρόνια.Στα μέσα του 17ου αιώνα, ένας Γάλλος μοναχός, Marin Mersenne, δημοσίευσε ένα βιβλίο, το Cogitata Physica-Mathematica .Σε αυτό το βιβλίο, δήλωσε ότι 2 ⁿ - 1 ήταν πρωταρχική για μια τιμή n 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 και 257.

^{τη στιγμή, ήταν προφανές ότι δεν υπήρχε τρόπος να δοκιμάσει την αλήθεια οποιουδήποτε από τους υψηλότερους αριθμούς.Ταυτόχρονα, οι συνομηλίκοι του δεν μπορούσαν επίσης να αποδείξουν ή να διαψεύσουν τον ισχυρισμό του.Στην πραγματικότητα, δεν ήταν μέχρι έναν αιώνα αργότερα ο Euler ήταν σε θέση να αποδείξει ότι ο πρώτος μη αποδεδειγμένος αριθμός στον κατάλογο του Mersenne, 2} 31 ^{- 1, ήταν στην πραγματικότητα πρωταρχική.Ένας αιώνας αργότερα, στα μέσα του 19ου αιώνα, αποδείχθηκε ότι 2} 127 ^{-1 ήταν επίσης πρωταρχικό.Λίγο αργότερα αποδείχθηκε ότι 2} 61 ^{- 1 ήταν επίσης πρωταρχικό, δείχνοντας ότι ο Mersenne είχε χάσει τουλάχιστον έναν αριθμό στη λίστα του.Στις αρχές του 20ου αιώνα προστέθηκαν δύο ακόμη αριθμοί που είχε χάσει, 2} 89 ^{-1 και 2} 107

-1. Με την έλευση των υπολογιστών που ελέγχουν αν οι αριθμοί ήταν πρωταρχικοί ή όχι έγιναν πολύ ευκολότεροι και μέχρι το 1947 τοΟλόκληρη η σειρά των αρχικών αριθμών Mersenne Prime του Mersenne είχε ελεγχθεί.Ο τελικός κατάλογος πρόσθεσε 61, 89 και 107 στον κατάλογό του και αποδείχθηκε ότι 257 δεν ήταν στην πραγματικότητα πρωταρχικό.σε αυτό το σύνολο αριθμών.Όταν ένας αριθμός 2

n ^{- 1 είναι στην πραγματικότητα πρωταρχική, λέγεται ότι είναι ένας από τους αριθμούς Mersenne Prime.}

Οι τέλειοι αριθμοί είχαν μια σημαντική θέση στον μυστικισμό που βασίζεται σε αριθμούς για χιλιάδες χρόνια.Ένας τέλειος αριθμός είναι ένας αριθμός n ο οποίος είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρέσων του, εξαιρουμένων του ίδιου.Για παράδειγμα, ο αριθμός 6 είναι ένας τέλειος αριθμός, επειδή έχει τους διαιρέτες 1, 2 και 3 και 1+2+3 είναι επίσης ίσο με 6. Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι 28, με τους διαιρέτες 1, 2, 4, 7 και 14. Το επόμενο άλμα μέχρι 496, και το επόμενο είναι 8128. Κάθε τέλειος αριθμός έχει το έντυπο 2 n-1 (2 n -1), όπου 2 n -1 είναι επίσης αMersenne Prime Number.Αυτό σημαίνει ότι στην εύρεση ενός νέου αριθμού Mersenne Prime, εστιάζουμε επίσης στην εύρεση νέων τέλειων αριθμών., και απαιτούν πολύ περισσότερη υπολογιστική ισχύ για να ελέγξετε.Για παράδειγμα, ενώ ο δέκατος αριθμός Mersenne Prime, 89, μπορεί να ελεγχθεί γρήγορα σε έναν οικιακό υπολογιστή, ο εικοστός, 4423, θα φορολογήσει έναν οικιακό υπολογιστή και το τριάντα, 132049 απαιτεί μεγάλη ποσότητα υπολογιστικής ενέργειας.Ο σαράντα γνωστός αριθμός Mersenne Prime, 20996011 περιέχει περισσότερα από έξι εκατομμύρια ατομικά ψηφία. Η αναζήτηση ενός νέου αριθμού Mersenne Prime συνεχίζεται, καθώς διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο σε αρκετές εικασίες και προβλήματα.Ίσως το παλαιότερο και πιο ενδιαφέρον ερώτημα είναι αν υπάρχει ένας περίεργος τέλειος αριθμός.Εάν υπήρχε κάτι τέτοιο, θα έπρεπε να διαιρείται με τουλάχιστον οκτώ πρωταρχικούς αριθμούς και θα είχε τουλάχιστον εβδομήντα πέντε πρωταρχικούς παράγοντες.Ένας από τους πρώτους διαιρέτες του θα ήταν μεγαλύτερος από 10 20 , οπότε θα ήταν ένας πραγματικά μνημειώδης αριθμός.Καθώς η υπολογιστική ισχύς συνεχίζει να αυξάνεται, ωστόσο, κάθε νέος αριθμός Mersenne Prime θα γίνει λίγο λιγότερο δύσκολος και ίσως αυτά τα αρχαία προβλήματα τελικά θα λυθούν.