Ποια είναι η φόρμουλα του Euler;

Ο ελβετικός μαθηματικός του 18ου αιώνα Leonhard Euler ανέπτυξε δύο εξισώσεις που έχουν γίνει γνωστές ως eulers formula.Μία από αυτές τις εξισώσεις σχετίζεται με τον αριθμό των κορυφών, των προσώπων και των άκρων σε ένα πολυεδρό.Ο άλλος τύπος σχετίζεται με τις πέντε πιο κοινές μαθηματικές σταθερές μεταξύ τους.Αυτές οι δύο εξισώσεις κατατάχθηκαν δεύτερη και πρώτη, αντίστοιχα, ως τα πιο κομψά μαθηματικά αποτελέσματα σύμφωνα με τον μαθηματικό νοημοσύνη.

eulers Formula για την πολυεδρά μερικές φορές ονομάζεται επίσης το θεώρημα Euler-Descartes.Δηλώνει ότι ο αριθμός των προσώπων, καθώς και ο αριθμός των κορυφών, μείον τον αριθμό των άκρων σε ένα πολυεδρικό πάντα ισούται με δύο.Είναι γραμμένο ως F + V - E ' 2. Για παράδειγμα, ένας κύβος έχει έξι πρόσωπα, οκτώ κορυφές και 12 άκρα.Η σύνδεση με τον τύπο Eulers, 6 + 8 - 12, στην πραγματικότητα, ισοδυναμεί με δύο. Υπάρχουν εξαιρέσεις σε αυτόν τον τύπο, επειδή ισχύει μόνο για ένα πολυεδρό που δεν διασταυρώνεται.Τα γνωστά γεωμετρικά σχήματα που περιλαμβάνουν σφαίρες, κύβους, τετράεδρα και οκταγόνες είναι όλα μη διακριτικά πολυεδρά.Ωστόσο, θα δημιουργηθεί ένα διασταυρωμένο πολυεδρό, αν κάποιος επρόκειτο να συμμετάσχει σε δύο από τις κορυφές ενός μη διακοσμητικού πολυεδρικού.Αυτό θα είχε ως αποτέλεσμα το polyhedron να έχει τον ίδιο αριθμό προσώπων και άκρων, αλλά ένα λιγότερο vertice, οπότε είναι προφανές ότι ο τύπος δεν είναι πλέον αληθής.

Από την άλλη πλευρά, μπορεί να εφαρμοστεί μια γενικότερη έκδοση του eulers τύπουPolyhedra που τέμνονται.Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται συχνά στην τοπολογία, η οποία είναι η μελέτη των χωρικών ιδιοτήτων.Σε αυτή την έκδοση του τύπου, το F + V - E είναι ίσο με έναν αριθμό που ονομάζεται χαρακτηριστικό Eulers, ο οποίος συχνά συμβολίζεται από το ελληνικό γράμμα Chi.Για παράδειγμα, τόσο ο torus σε σχήμα ντόνατς όσο και η ταινία Mobius έχουν ένα eulers χαρακτηριστικό του μηδέν.Το χαρακτηριστικό του Eulers μπορεί επίσης να είναι μικρότερο από μηδέν.

Ο δεύτερος τύπος Eulers περιλαμβάνει τις μαθηματικές σταθερές E, I, #928, 1 και 0. E, που συχνά ονομάζεται αριθμός Eulers και είναι ένας παράλογος αριθμός που στρογγυλοποιείται σε 2,72.Ο φανταστικός αριθμός Ι ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του -1.Η σχέση μεταξύ της διαμέτρου και της περιφέρειας ενός κύκλου, είναι περίπου 3,14, αλλά, όπως και το e, είναι ένας παράλογος αριθμός.+ 1 ' 0. Ο Euler ανακάλυψε ότι αν #928;αντικαταστάθηκε για το x στην τριγωνομετρική ταυτότητα e

(i*#928;)

' cos (x) + i*sin (x), το αποτέλεσμα ήταν αυτό που τώρα γνωρίζουμε ως eulers formula.Εκτός από τη συσχέτιση αυτών των πέντε θεμελιωδών σταθερών, ο τύπος καταδεικνύει επίσης ότι η αύξηση ενός παράλογου αριθμού στη δύναμη ενός φανταστικού παραλογικού αριθμού μπορεί να οδηγήσει σε έναν πραγματικό αριθμό.