สูตรของออยเลอร์คืออะไร?

นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสในศตวรรษที่ 18 Leonhard Euler พัฒนาสมการสองแบบที่รู้จักกันในชื่อสูตรของออยเลอร์ หนึ่งในสมการเหล่านี้เกี่ยวข้องกับจำนวนของจุดยอดใบหน้าและขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม สูตรอื่นเกี่ยวข้องกับค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่พบมากที่สุดห้าค่าซึ่งกันและกัน สมการทั้งสองนี้อยู่ในอันดับที่สองและที่หนึ่งตามลำดับซึ่งเป็นผลการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่หรูหราที่สุดตาม "The

สูตรของออยเลอร์สำหรับโพลีเฮดราบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทออยเลอร์ มันระบุว่าจำนวนของใบหน้ารวมถึงจำนวนของจุดยอดลบด้วยจำนวนของขอบบนรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่ากับสองเสมอ มันถูกเขียนเป็น F + V - E = 2 ตัวอย่างเช่นคิวบ์มีหกหน้าแปดจุดยอดและ 12 ขอบ เสียบเข้ากับสูตรของออยเลอร์ที่จริงแล้ว 6 + 8 - 12 เท่ากับสองเท่ากัน

มีข้อยกเว้นสำหรับสูตรนี้เนื่องจากมีค่าเป็นจริงสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่ได้ตัดกันเท่านั้น รูปทรงเรขาคณิตที่รู้จักกันดี ได้แก่ ทรงกลม, ลูกบาศก์, Tetrahedra และ Octagons ล้วนเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่ตัดกัน รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ตัดกันจะถูกสร้างขึ้น แต่ถ้ามีคนเข้าร่วมสองจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่ตัดกัน ซึ่งจะส่งผลให้รูปทรงหลายเหลี่ยมมีจำนวนใบหน้าและขอบเท่ากัน แต่มีจุดยอดที่น้อยกว่าหนึ่งดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่าสูตรไม่เป็นจริงอีกต่อไป

ในทางกลับกันสูตรทั่วไปของออยเลอร์สามารถนำไปใช้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ตัดกัน สูตรนี้มักใช้ในทอพอโลยีซึ่งเป็นการศึกษาคุณสมบัติเชิงพื้นที่ ในสูตรของรุ่นนี้ F + V - E เท่ากับจำนวนที่เรียกว่าลักษณะของออยเลอร์ซึ่งมักจะเป็นสัญลักษณ์ของตัวอักษรกรีกไค ตัวอย่างเช่นทั้งทอรัสรูปโดนัทและแถบ Mobius มีลักษณะเป็นศูนย์ของออยเลอร์ คุณลักษณะของออยเลอร์อาจน้อยกว่าศูนย์

สูตรที่สองของออยเลอร์รวมถึงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ e, i, Π, 1 และ 0 E ซึ่งมักเรียกว่าหมายเลขของออยเลอร์และเป็นจำนวนอตรรกยะที่มีค่าเป็น 2.72 จำนวนจินตภาพ i ถูกกำหนดเป็นสแควร์รูทของ -1 Pi (Π) ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นรอบวงของวงกลมมีค่าประมาณ 3.14 แต่เช่น e เป็นจำนวนอตรรกยะ

สูตรนี้เขียนเป็น e ^{(i * Π)} + 1 = 0 ออยเลอร์ค้นพบว่าถ้าΠถูกแทนที่ด้วย x ในเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ e ^{(i * Π)} = cos (x) + i * sin (x) ผลลัพธ์ เป็นสิ่งที่เรารู้กันว่าเป็นสูตรของออยเลอร์ นอกเหนือจากการเชื่อมโยงค่าคงที่พื้นฐานทั้งห้านี้แล้วสูตรยังแสดงให้เห็นว่าการเพิ่มจำนวนอตรรกยะให้เป็นกำลังของจำนวนอตรรกยะจำนวนจินตภาพอาจส่งผลให้จำนวนจริง