สูตรของออยเลอร์คืออะไร?

นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสในศตวรรษที่ 18 ลีออนฮาร์ดออยเลอร์พัฒนาสมการสองสมการที่รู้จักกันในชื่อสูตรออยเลอร์หนึ่งในสมการเหล่านี้เกี่ยวข้องกับจำนวนจุดยอดใบหน้าและขอบบนรูปทรงหลายเหลี่ยมสูตรอื่น ๆ เกี่ยวข้องกับค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่พบบ่อยที่สุดห้าค่าซึ่งกันและกันสมการทั้งสองนี้ได้รับการจัดอันดับที่สองและครั้งแรกตามลำดับเนื่องจากผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่สง่างามที่สุดตามนักคณิตศาสตร์อัจฉริยะ

สูตร Eulers สำหรับโพลีเฮดราบางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทออยเลอร์มันระบุว่าจำนวนใบหน้ารวมถึงจำนวนจุดยอดลบจำนวนขอบบนรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่ากับสองเสมอมันถูกเขียนเป็น f + v - e ' 2 ตัวอย่างเช่นลูกบาศก์มีหกใบหน้า, แปดจุดยอดและ 12 ขอบเสียบเข้ากับสูตรออยเลอร์ 6 + 8 - 12 ในความเป็นจริงสองเท่ากันสอง

มีข้อยกเว้นสำหรับสูตรนี้เพราะมันถือเป็นจริงสำหรับโพลีเฮดตรอนที่ไม่ตัดกันตัวเองรูปทรงเรขาคณิตที่รู้จักกันดีรวมถึงทรงกลมลูกบาศก์จัตุรมุขและ octagons ล้วนเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่ได้ตัดอย่างไรก็ตามมีการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ตัดกันอย่างไรก็ตามหากมีใครบางคนเข้าร่วมจุดยอดสองจุดของโพลีไฮดรอนที่ไม่ได้ตัดทอนสิ่งนี้จะส่งผลให้ polyhedron มีจำนวนใบหน้าและขอบเท่ากัน แต่หนึ่ง vertice น้อยกว่าหนึ่งดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่าสูตรไม่เป็นความจริงอีกต่อไป

^{ในทางกลับกันโพลีเฮดราที่ตัดกันตัวเองสูตรนี้มักใช้ในโทโพโลยีซึ่งเป็นการศึกษาคุณสมบัติเชิงพื้นที่ในสูตรรุ่นนี้ F + V - E เท่ากับตัวเลขที่เรียกว่าลักษณะของออยเลอร์ซึ่งมักจะเป็นสัญลักษณ์ของตัวอักษรกรีก Chiตัวอย่างเช่นทั้ง Torus รูปโดนัทและแถบ Mobius มีลักษณะออยเลอร์เป็นศูนย์ลักษณะของออยเลอร์อาจน้อยกว่าศูนย์สูตรออยเลอร์ที่สองรวมถึงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ e, i, #928;, 1 และ 0 e ซึ่งมักเรียกว่าหมายเลขออยเลอร์และเป็นจำนวนที่ไม่มีเหตุผลที่รอบ 2.72จำนวนจินตนาการที่ฉันถูกกำหนดให้เป็นสแควร์รูทของ -1PI (#928;) ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นรอบวงของวงกลมอยู่ที่ประมาณ 3.14 แต่เช่น E เป็นจำนวนที่ไม่มีเหตุผล}

สูตรนี้เขียนเป็น E (I*#928;) + 1 ' 0 ออยเลอร์ค้นพบว่าถ้า #928;ถูกแทนที่สำหรับ x ในเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ e (i*#928;) ' cos (x) + i*sin (x) ผลลัพธ์คือสิ่งที่เรารู้ว่าเป็นสูตรออยเลอร์นอกเหนือจากที่เกี่ยวข้องกับค่าคงที่ห้าค่าพื้นฐานเหล่านี้สูตรยังแสดงให้เห็นว่าการเพิ่มจำนวนไม่มีเหตุผลให้กับพลังของจำนวนที่ไม่มีเหตุผลในจินตนาการอาจส่งผลให้จำนวนจริง