Τι είναι μια κανονική μορφή;
Σχεδόν όλα τα μαθηματικά αντικείμενα μπορούν να εκφραστούν με πολλούς τρόπους.Για παράδειγμα, το κλάσμα 2/6 είναι ισοδύναμο με 5/15 και -4/-12.Μια κανονική μορφή είναι ένα συγκεκριμένο σχήμα που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί για να περιγράψουν αντικείμενα από μια δεδομένη κλάση με έναν κωδικοποιημένο, μοναδικό τρόπο.Κάθε αντικείμενο της κλάσης έχει μια μοναδική κανονική αναπαράσταση που ταιριάζει με το πρότυπο της κανονικής μορφής. Για λογικούς αριθμούς, η κανονική μορφή είναι
a/ b , όπου a και b δεν έχουν κοινούς παράγοντες και Το B είναι θετικό.Ένα τέτοιο κλάσμα περιγράφεται τυπικά ως "με τους χαμηλότερους όρους".Όταν τίθεται σε κανονική μορφή, το 2/6 γίνεται 1/3.Εάν δύο κλάσματα είναι ίσα σε αξία, οι κανονικές αναπαραστάσεις τους είναι πανομοιότυπες. Οι κανονικές μορφές δεν είναι πάντα ο πιο συνηθισμένος τρόπος να δηλώσουν ένα μαθηματικό αντικείμενο.Οι δισδιάστατες γραμμικές εξισώσεις έχουν την κανονική μορφή ax +
από+ c ' 0, όπου c είναι είτε 1 ή 0. Ωστόσο, οι μαθηματικοί συχνά χρησιμοποιούν τη μορφή παρεμπόδισης της κλίσης mdash; y ' mx + b mdash;Όταν κάνετε βασικούς υπολογισμούς.Η μορφή παρεμπόδισης της κλίσης δεν είναι κανονική.Δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει τη γραμμή x ' 4. Οι μαθηματικοί βρίσκουν κανονικές μορφές ιδιαίτερα χρήσιμες κατά την ανάλυση αφηρημένων συστημάτων, στα οποία δύο αντικείμενα μπορεί να φαίνονται σημαντικά διαφορετικά, αλλά είναι μαθηματικά ισοδύναμα.Το σύνολο όλων των κλειστών διαδρομών σε ένα ντόνατς έχει την ίδια μαθηματική δομή με το σύνολο όλων των διαταγμένων ζευγών ( a ,
b) των ακέραιων ακέραιων.Ένας μαθηματικός μπορεί να δει αυτή τη σύνδεση εύκολα εάν χρησιμοποιεί κανονικές μορφές για να περιγράψει και τα δύο σύνολα.Τα δύο σετ έχουν την ίδια κανονική αναπαράσταση, έτσι είναι ισοδύναμα.Για να απαντήσουμε σε μια τοπολογική ερώτηση σχετικά με τις καμπύλες σε ένα ντόνατς, ένας μαθηματικός μπορεί να είναι ευκολότερο να απαντήσει σε μια ισοδύναμη, αλγεβρική ερώτηση σχετικά με τα διαταγμένα ζεύγη ακεραίων.Μια μήτρα ορίζεται από τις μεμονωμένες καταχωρίσεις του, αλλά αυτές οι καταχωρήσεις συχνά δεν μεταδίδουν το χαρακτήρα της μήτρας.Οι κανονικές μορφές βοηθούν τους μαθηματικούς να γνωρίζουν πότε δύο μήτρες σχετίζονται με κάποιο τρόπο που μπορεί να μην είναι προφανές διαφορετικά. Η Boolean Algebras, η δομή που χρησιμοποιούν οι λογικοί όταν περιγράφουν τις προτάσεις, έχουν δύο κανονικές μορφές: διαζευκτική κανονική μορφή και συγκινητική κανονική μορφή.Αυτά είναι αλγεβικά ισοδύναμα με τον παράγοντα ή την επέκταση των πολυωνύμων αντίστοιχα.Ένα σύντομο παράδειγμα απεικονίζει αυτή τη σύνδεση. Ο διευθυντής ενός γυμνασίου μπορεί να πει: "Η ποδοσφαιρική ομάδα πρέπει να κερδίσει ένα από τα δύο πρώτα παιχνίδια και να νικήσει τους αντιπάλους μας, τους Hornets, στο τρίτο του παιχνίδι, αλλιώς ο προπονητής θα απολυθεί. "Αυτός ο ισχυρισμός μπορεί να γραφτεί λογικά ως (
w 1+
w2 ) * h + f , όπου το " +" είναι η λογική "ή" λειτουργία και " *" είναι η λογική "και "λειτουργία.Η διαζευκτική κανονική μορφή για αυτή την έκφραση είναι W 1 * h + W 2 * h + f .Η συσχετιστική φυσιολογική μορφή του για το IS ( w 1 + w 2 + f ) * ( h + f ).Και οι τρεις από αυτές τις εκφράσεις είναι αληθινές κάτω από τις ίδιες συνθήκες, επομένως είναι λογικά ισοδύναμες. Οι μηχανικοί και οι φυσικοί χρησιμοποιούν επίσης κανονικές μορφές όταν εξετάζουν τα φυσικά συστήματα.Μερικές φορές ένα σύστημα θα είναι μαθηματικά παρόμοιο με άλλο, παρόλο που δεν φαίνονται τίποτα.Οι εξισώσεις διαφορικής μήτρας που χρησιμοποιούνται για το μοντέλο 1 μπορεί να είναι πανομοιότυπες με εκείνες που χρησιμοποιούνται για να μοντελοποιήσουν το άλλο.Αυτές οι ομοιότητες γίνονται εμφανείς όταν τα συστήματα χυτεύονται σε κανονική μορφή, όπως παρατηρήσιμη κανονική μορφή ή ελεγχόμενη κανονική μορφή.