Apa itu bentuk kanonik?

Hampir semua objek matematika dapat diekspresikan dalam berbagai cara.Misalnya, fraksi 2/6 setara dengan 5/15 dan -4/-12.Bentuk kanonik adalah skema spesifik yang digunakan matematikawan untuk menggambarkan objek dari kelas tertentu dengan cara yang dikodifikasi dan unik.Setiap objek di kelas memiliki satu representasi kanonik yang cocok dengan templat bentuk kanonik.

Untuk bilangan rasional, bentuk kanonik adalah A / B , di mana A dan B tidak memiliki faktor umum dan B positif.Fraksi seperti itu biasanya digambarkan sebagai "dalam istilah terendah."Saat dimasukkan ke dalam bentuk kanonik, 2/6 menjadi 1/3.Jika dua fraksi memiliki nilai yang sama, representasi kanoniknya identik.

Bentuk kanonik tidak selalu merupakan cara paling umum untuk menunjukkan objek matematika.Persamaan linear dua dimensi memiliki bentuk kanonik kapak + oleh + C ' 0, di mana C adalah 1 atau 0. Namun matematikawan sering menggunakan bentuk kemiringan-intercept mdash; y ' mx + b mdash;Saat melakukan perhitungan dasar.Bentuk intersep lereng bukan kanonik;Ini tidak dapat digunakan untuk menggambarkan garis x ' 4.

Matematikawan menemukan bentuk kanonik yang sangat berguna ketika menganalisis sistem abstrak, di mana dua objek mungkin tampak sangat berbeda tetapi secara matematis setara.Set semua jalur tertutup pada donat memiliki struktur matematika yang sama dengan himpunan semua pasangan yang dipesan ( A , B ) dari bilangan bulat.Seorang ahli matematika dapat melihat koneksi ini dengan mudah jika ia menggunakan bentuk kanonik untuk menggambarkan kedua set.Kedua set memiliki representasi kanonik yang sama, sehingga mereka setara.Untuk menjawab pertanyaan topologis tentang kurva pada donat, ahli matematika mungkin merasa lebih mudah untuk menjawab pertanyaan aljabar yang setara tentang pasangan bilangan bulat yang dipesan.

Banyak bidang studi menggunakan matriks untuk menggambarkan sistem.Matriks ditentukan oleh entri individualnya, tetapi entri tersebut sering tidak menyampaikan karakter matriks.Bentuk kanonik membantu matematikawan tahu ketika dua matriks terkait dalam beberapa cara yang mungkin tidak jelas sebaliknya.

Aljabar boolean, struktur yang digunakan ahli logika saat menggambarkan proposisi, memiliki dua bentuk kanonik: bentuk normal disjungtif dan bentuk normal konjungtif.Ini secara aljabar setara dengan anjak atau perluasan polinomial masing -masing.Contoh singkat menggambarkan hubungan ini.

Kepala Sekolah Menengah mungkin berkata, “Tim sepak bola harus memenangkan salah satu dari dua pertandingan pertamanya dan mengalahkan rival kami, Hornets, di pertandingan ketiganya, atau pelatih akan dipecat. ”Klaim ini dapat ditulis secara logis sebagai ( w ₁ + w ₂ ) * h + f , di mana " +" adalah operasi logis "atau" dan " *" adalah logis "dan ”operasi.Bentuk normal disjunctive untuk ekspresi ini adalah w ₁ * h + w ₂ * h + f .Bentuk normal konjungtifnya untuk IS ( w ₁ + w ₂ + f ) * ( h + f ).Ketiga ekspresi ini benar dalam kondisi yang persis sama, sehingga mereka setara secara logis.

Insinyur dan fisikawan juga menggunakan bentuk kanonik ketika mempertimbangkan sistem fisik.Terkadang satu sistem akan secara matematis mirip dengan yang lain meskipun mereka tampak tidak sama.Persamaan matriks diferensial yang digunakan untuk memodelkan satu mungkin identik dengan yang digunakan untuk memodelkan yang lain.Kesamaan ini menjadi jelas ketika sistem dilemparkan dalam bentuk kanonik, seperti bentuk kanonik yang dapat diamati atau bentuk kanonik yang dapat dikendalikan.