Apa itu Delta Kronecker?
Fungsi Delta Kronecker, dilambangkan delta; i, j , adalah fungsi biner yang sama dengan 1 jika i dan j sama dan sama dengan 0 sebaliknya.Meskipun secara teknis adalah fungsi dari dua variabel, dalam praktiknya digunakan sebagai steno notasi, memungkinkan pernyataan matematika yang rumit ditulis dengan kompak.Matematikawan, fisikawan, dan insinyur yang bekerja dalam aljabar linier, analisis tensor dan pemrosesan sinyal digital menggunakan fungsi Delta Kronecker sebagai cara untuk menyampaikan dalam satu persamaan apa yang mungkin mengambil beberapa baris teks.
Fungsi ini paling sering digunakan untuk disederhanakanPenulisan persamaan yang melibatkan notasi Sigma, yang dengan sendirinya merupakan metode singkat untuk merujuk pada jumlah yang rumit.Misalnya, jika perusahaan memiliki 30 karyawan { e 1 , E 2 ... E 30 }, dan setiap karyawan bekerja dengan jumlah jam yang berbeda { H 1 , H 2 ... h 30 } dengan tarif per jam yang berbeda { r 1 , r 2 ... r 30 }, total uang yang dibayarkan kepada karyawan ini untuk pekerjaan mereka sama dengan e 1*h 1 *r 1 + e 2 *h 2 *r 2 + e 3 *h 3 *r 3 + ... e 30 *H 30 *R 30 .Matematikawan dapat menulis ini secara ringkas sebagai sum; i e i *h i *r i .
Saat menggambarkan sistem fisik yang melibatkan beberapa dimensi, fisikawan harus sering menggunakan penjumlahan ganda.Aplikasi ilmiah praktis sangat kompleks, tetapi contoh konkret menunjukkan bagaimana fungsi Kronecker Delta dapat menyederhanakan ekspresi dalam kasus ini.
Ada tiga toko pakaian di mal, masing -masing menjual merek yang berbeda.Tersedia total 20 gaya kemeja: delapan ditawarkan oleh toko 1, tujuh yang ditawarkan oleh toko 2 dan lima yang ditawarkan di toko 3. Dua belas gaya celana tersedia: lima di toko 1, tiga di toko 2 dan empat di toko 3.Seseorang dapat membeli 240 pakaian yang mungkin, karena ada 20 opsi untuk kemeja dan 12 opsi untuk celana.Setiap kombinasi menghasilkan pakaian yang berbeda.
Tidak sesederhana untuk menghitung jumlah cara untuk memilih pakaian di mana kemeja dan celana berasal dari toko yang berbeda.Seseorang dapat memilih kemeja dari toko 1 dan celana dari toko 2 dalam 8*3 cara.Ada 8*4 cara untuk memilih kemeja dari toko 1 dan celana dari toko 3. Melanjutkan dengan cara ini, orang menemukan jumlah total pakaian menggunakan artikel dari toko yang berbeda adalah 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 ' 199.
Seseorang dapat mempertimbangkan ketersediaan kemeja dan celana sebagai dua urutan, { S 1 , S 2 , S 3 } ' {8,7, 5} dan { p 1 , p 2 , p 3 } ' {5, 3, 4}.Maka fungsi kronecker delta memungkinkan jumlah ini ditulis sebagai sederhana jumlah; i jumlah; j s i * p j * (1- delta; i,j ).Istilah (1- delta; i, j ) menghilangkan pakaian tersebut yang terdiri dari kemeja dan celana yang dibeli di toko yang sama karena dalam hal ini i ' j , jadi delta; i, j ' 1 dan (1- delta; i, j ) ' 0. Mengalikan istilah dengan 0 menghapusnya dari jumlah.
Fungsi Delta Kronecker paling sering digunakan saat menganalisis ruang multidimensi, tetapi juga bisa jadiDigunakan saat mempelajari ruang satu dimensi, seperti garis bilangan real.Dalam hal ini, varian input tunggal sering digunakan: delta; ( n ) ' 1 jika n ' 0; Delta; ( n ) ' 0 sebaliknya.Untuk melihat bagaimana fungsi Delta Kronecker dapat digunakan untuk menyederhanakan pernyataan matematika yang kompleks tentang bilangan real, orang dapat mempertimbangkan dua fungsi berikut yang inputnya adalah fraksi yang disederhanakan:
f (a/b) ' a a ' b +1, f (a/b) ' -b jika b ' a +1, dan f (a/b) ' 0 jika tidak.
g (a/b) ' a * delta; ( a - b -1)- b * delta; ( a - b +1)
fungsi f dan G identik, tetapi definisi untuk g lebih kompak dan tidak memerlukan bahasa Inggris, sehingga dapat dipahami oleh ahli matematika di dunia.yang terhubung ke beberapa urutan nilai.Distribusi Dirac Delta adalah analog kontinu dari fungsi kronecker delta yang digunakan saat mengintegrasikan fungsi daripada menjumlahkan urutan.