Ano ang Kronecker Delta?

Ang pagpapaandar ng Kronecker delta, na tinutukoy at delta; i, j , ay isang binary function na katumbas ng 1 kung i at j ay pantay at katumbas ng 0 kung hindi man.Bagaman ito ay isang function ng dalawang variable, sa pagsasanay ito ay ginagamit bilang notational shorthand, na nagpapahintulot sa mga kumplikadong pahayag sa matematika na isulat nang compactly.Ang mga matematika, pisiko at inhinyero na nagtatrabaho sa linear algebra, pagsusuri ng tensor at pagproseso ng digital na signal ay gumagamit ng pag -andar ng Kronecker delta bilang isang kapaki -pakinabang upang maiparating sa isang solong equation kung ano ang maaaring kumuha ng maraming linya ng teksto.

Ang pagpapaandar na ito ay madalas na ginagamit upang gawing simpleAng pagsulat ng mga equation na nagsasangkot ng notasyon ng Sigma, na kung saan mismo ay isang maigsi na paraan ng pagtukoy sa mga kumplikadong kabuuan.Halimbawa, kung ang isang kumpanya ay may 30 empleyado { e 1 , e 2 ... e 30 }, at ang bawat empleyado ay gumagana ng ibang bilang ng oras { h 1 , h 2 ... h 30 } sa ibang oras na rate { r 1 , r 2 ... r 30 }, ang kabuuang pera na binabayaran sa mga empleyado na ito para sa kanilang trabaho ay katumbas ng e 1*H 1 *r 1 + e 2 *H 2 *r 2 + e 3 *H 3 *r 3 + ... e 30 *H 30 *r 30 .Ang mga matematika ay maaaring isulat ito ng concisely bilang sum; i e i *h i *r i .Ang mga praktikal na aplikasyon ng pang -agham ay napaka -kumplikado, ngunit ang isang kongkretong halimbawa ay nagpapakita kung paano ang pag -andar ng Kronecker delta ay maaaring gawing simple ang mga expression sa mga kasong ito.

Mayroong tatlong mga tindahan ng damit sa isang mall, bawat isa ay nagbebenta ng ibang tatak.Isang kabuuan ng 20 estilo ng mga kamiseta ay magagamit: walong inaalok ng Store 1, pitong inaalok ng Store 2 at limang inaalok sa tindahan 3. Labindalawang estilo ng pantalon ay magagamit: lima sa tindahan 1, tatlo sa tindahan 2 at apat sa tindahan 3.Ang isa ay maaaring bumili ng 240 posibleng mga outfits, dahil mayroong 20 mga pagpipilian para sa shirt at 12 mga pagpipilian para sa pantalon.Ang bawat kumbinasyon ay nagbubunga ng ibang sangkap.

Ito ay hindi kasing simple upang makalkula ang bilang ng mga paraan upang pumili ng isang sangkap kung saan ang shirt at pantalon ay mula sa iba't ibang mga tindahan.Ang isa ay maaaring pumili ng isang shirt mula sa tindahan 1 at pantalon mula sa tindahan 2 sa 8*3 na paraan.Mayroong 8*4 na paraan upang pumili ng isang shirt mula sa tindahan 1 at pantalon mula sa tindahan 3. Patuloy sa paraang ito, natagpuan ng isa ang kabuuang bilang ng mga outfits gamit ang mga artikulo mula sa iba't ibang mga tindahan ay 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 ' 199.

Maaaring isaalang -alang ng isa ang pagkakaroon ng mga kamiseta at pantalon bilang dalawang pagkakasunud -sunod, {

s

1 , s 2 , s 3 } ' {8,7, 5} at { p 1 , p 2 , p 3 } ' {5, 3, 4}.Pagkatapos ay pinapayagan ng function ng Kronecker delta na ang kabuuan na ito ay isulat bilang simple at kabuuan; i sum;j ).Ang termino ng (1- delta; i, j ) ay nag-aalis ng mga outfits na binubuo ng isang shirt at pantalon na binili sa parehong tindahan dahil sa kasong iyon i ' j , So delta; i, j ' 1 at (1- delta; i, j ) ' 0. Ang pagpaparami ng termino sa pamamagitan ng 0 tinanggal ito mula sa kabuuan.Ginamit kapag nag-aaral ng isang dimensional na puwang, tulad ng tunay na linya ng numero.Sa kasong iyon, ang isang solong-input variant ay madalas na ginagamit: delta; ( n ) ' 1 kung n ' 0; delta; ( n ) ' 0 kung hindi man.Upang makita kung paano maaaring magamit ang pagpapaandar ng Kronecker delta upang gawing simple ang mga kumplikadong pahayag sa matematika tungkol sa mga tunay na numero, maaaring isaalang -alang ng isa ang sumusunod na dalawang pag -andar na ang mga input ay pinasimple na mga praksyon: f (a/b) ' a kung a ' b +1, f (a/b) ' -b kung b ' a +1, at f (a/b) ' 0 kung hindi man.
g (a/b) ' a * delta; ( a - b -1)- b * delta; ( a - b +1)

ang mga pag-andar f at Ang G ay magkapareho, ngunit ang kahulugan para sa g ay mas compact at hindi nangangailangan ng Ingles, kaya maiintindihan ito ng anumang matematiko sa mundo.na konektado sa ilang pagkakasunud -sunod ng mga halaga.Ang pamamahagi ng Dirac delta ay isang tuluy -tuloy na analog ng function na Kronecker delta na ginamit kapag nagsasama ng mga pag -andar sa halip na mga pagkakasunud -sunod ng pagtawag.